Федеральное агентство по образованию Российской Федерации

ГОУВПО

Тульский государственный педагогический университет

имени Л.Н.Толстого

ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ

Тула 2008

Числовые системы

Пособие предназначено для студентов математических специальностей педагогического вуза и разработано в соответствии с госстандартом по курсу «Числовые системы». Изложен теоретический материал. Разобраны решения типовых заданий. Приведены упражнения для решения на практических занятиях.

Составитель -

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры и геометрии ТГПУ им. Л. Н. Толстого Ю. А. Игнатов

Рецензент -

кандидат физико-математических наук, профессор кафедры математического анализа ТГПУ им. Л. Н. Толстого И. В. Денисов

Учебное издание Числовые системы

Составитель

Игнатов Юрий Александрович

© Ю. Игнатов, 2008 г.

Числовые системы

Настоящий курс относится к основаниям математики. В нем дается строгое аксиоматическое построение основных числовых систем: натуральных, целых, рациональных, действительных, комплексных, а также кватернионов. В основе лежит теория формальных аксиоматических систем, рассмотренная в курсе математической логики.

В каждом пункте нумерация теорем ведется сначала. При необходимости ссылки на теорему из другого пункта используется ступенчатая нумерация: перед номером теоремы ставится номер пункта. Например, теорема 1.2.3 – это теорема 3 из пункта 1.2.

1. Натуральные числа

1.Аксиоматическая теория натуральных чисел

Аксиоматическуя теорию определяют следующие элементы:

• набор констант;

• набор функциональных символов для обозначения операций;

• набор предикатных символов для обозначения отношений;

• список аксиом, связывающих указанные выше элементы.

Для формальной аксиоматической теории указываются еще правила вывода, с помощью которых доказываются теоремы. При этом все утверждения записываются в виде формул, смысл которых не имеет значения, и над этими формулами производятся преобразования по заданным правилам. В содержательной аксиоматической теории правила вывода не указываются. Доказательства проводятся на основе обычных логических построений, учитывающих смысл доказываемых утверждений.

В настоящем курсе строятся содержательные теории основных числовых систем.

Важнейшее требование к аксиоматической теории – ее непротиворечивость. Доказательство непротиворечивости осуществляется построением модели теории в другой теории. Тогда непротиворечивость рассматриваемой теории сводится к непротиворечивости той теории, в которой построена модель.

Для системы целых чисел модель строится в рамках системы натуральных чисел, для рациональных – в системе целых чисел, и т.д. Получается цепочка аксиоматических теорий, в которой каждая теория опирается на предшествующую. Но для первой теории в этой цепочке, а именно теории натуральных чисел, модель строить негде. Поэтому для системы натуральных чисел следует построить такую теорию, для которой существование модели не вызывает сомнений, хотя строго это доказать невозможно.

Теория должна быть очень простой. С этой целью мы рассматриваем систему натуральных чисел только как инструмент для счета предметов. Операции сложения, умножения, отношение порядка должны быть определены после того, как теория в указанном виде будет построена.

Для нужд счета система натуральных чисел должна представлять собой последовательность, в которой определен первый элемент (единица) и для каждого элемента определен следующий за ним. В соответствии с этим получаем следующую теорию.

Константа: 1 (единица).

Функциональный символ: «». Обозначает унарную операцию «следовать за», то есть а – число, следующее за а. При этом число а называется предшествующим для а.

Специальных предикатных символов нет. Используются обычное отношение равенства и теоретико-множественные отношения. Аксиомы для них указываться не будут.

Множество, на котором строится теория, обозначается N.

Аксиомы:

(N1) (a) a  1 (единица не следует ни за каким числом).

(N2) (a)(b) (a = b  a = b) (у каждого числа есть не более одного предшествующего).

(N3) M  N, 1 M, (a)(aM  a M)  M = N (аксиома математической индукции).

Приведенная аксиоматика была предложена (с незначительными изменениями) итальянским математиком Пеано в конце XIX века.

Из аксиом нетрудно вывести некоторые теоремы.

1. (Метод математической индукции). Пусть Р(n) – предикат, определенный на множестве N. Пусть истинно Р(1) и (n)(P(n)P(n)). Тогда Р(n) – тождественно истинный предикат на N.

Доказательство. Пусть М – множество натуральных чисел n, для которых Р(n) истинно. Тогда 1M по условию теоремы. Далее, если nM, то P(n) истинно по определению М, P(n) истинно по условию теоремы, и nM по определению М. Выполняются все посылки аксиомы индукции, следовательно, M = N. Согласно определению М, это значит, что Р(n) истинно для всех чисел из N. Теорема доказана.

2. Любое число а  1 имеет предшествующее, и притом только одно.

Доказательство. Пусть М – множество натуральных чисел, содержащее 1 и все числа, имеющие предшествующее. Тогда 1M. Если aM, то a M, так как a имеет предшествующее (здесь даже не используется условие aM). Значит, по аксиоме индукции M = N. Теорема доказана.

3. Любое число отлично от следующего за ним.

Доказательство – в качестве упражнения.

Упражнение. Определив натуральные числа 1 = 2, 2 = 3, 3 = 4, 4 = 5, 5 = 6, докажите, что 2  6.