Формирование замкнутой системы и построение системы сравнения
Вычислим матрицу замкнутой системы для :
.
Az_n=A10_n-B10*K10_med
Az_v=A10_v-B10*K10_med
for i=1:1:10
for j=1:1:10
Az_med(i,j)=[Az_n(i,j)+Az_v(i,j)]/2;
end
end
Верхнее
системы
сравнения будет является мажорантой
для производной ВФЛ, а нижнее
-
минорантой.
Рассмотрим построение системы сравнения для данной системы.
(16)
Таким образом, система ОДУ вид
(17)
где
-
переменная состояния агрегированной
системы является СС.
Найдем матрицу P – решение уравнения Ляпунова:
Р=lyap(A_med,Q)
Собственные числа матрицы Р:
В среде Matlab получили следующие матрицы:
Проверка устойчивости системы сравнения
Рассмотрим линейную систему ДУ
(18)
Автономная
система будет системой сравнения, если
все недиагональные элементы матрицы W
,
будут неотрицательны
,
то есть матрица W
– матрица
типа М (матрица Метцлера). Для М – матриц
следующие утверждения эквивалентны:
Матрица W устойчива (все
,
где
корни характеристического уравнения
);Выполняются условия Севастьянова-Котелянского
Существует положительный вектор
который
удовлетворяет уравнению
при любом с>0;Матрица
-
отрицательно определенная;Для любой отрицательно определенной симметричной матрицы G существует решение
уравнения
Ляпунова
,
которое является симметричной
положительно определенной матрицей.
Проверим первое условие устойчивости. Проверим, что в среде Matlab, получили два собственных значения:
.
Первое условие устойчивости не выполняется, матрица W неустойчива.
Также очевидно, что первый угловой минор >0, а второй <0. Условие устойчивости также не выполняется.
Таким образом, получили неустойчивую систему сравнения для устойчивой исходной системы (см. п.2).
Построение переходных процессов по х про заданном Хо
Модель в пространстве состояний, дополненная начальными условиями:
Решение системы определяется следующим образом:
где
-
матричная экспонента и
.
Построим графики: функции с помощью встроенной функции step в Matlab.
Построим серии графиков для трех систем:
sys1i–
для системы
;
sys2i–
для системы
;
sys3i–
для системы
.
Рис.1.
График построения переходных процессов
систем при
.
Рис.2.
График построения переходных процессов
систем при
.
Рис.3.
График построения переходных процессов
систем при
.
Рис.4.
График построения переходных процессов
систем при
.
Рис.5.
График построения переходных процессов
систем при
.
Выбор векторного критерия качества замкнутой системы из пяти компонентов
Выберем пять критериев качества для замкнутой системы:
Выберем следующие пять критериев для оценки качества системы:
Время регулирования (время, когда колебания регулируемой величины перестают превышать 5 % от установившегося значения).
2) Время нарастания (время, за которое уровень сигнала меняется с 10% до 90% максимальной амплитуды).
3) Время от начала процесса до первого момента достижения установившегося значения.
Перерегулирование ((определяется величиной первого выброса) — отношение разности максимального значения переходной характеристики и ее установившегося значения к величине установившегося значения. Измеряется в процентах).
Максимальный отклик (максимальная величина отклика на воздействие).
Выпишем значения по каждому критерию для 5 воздействий (5 графиков), и 2 генераторов.
1 график
1 генератор
5.22 1.14 2.76 8.15 -5.96
2 генератор
11.6 0.936 3.07 37.8 -13.5
2 график
1 генератор
6.83 0 1.68 42.1 -1.21
2 генератор
14.3 0 2.23 11.1 -5.31
3 график
1 генератор
4.04 1.89 3.54 3.45 -21.5
2 генератор
12.2 0.988 3.73 48 -43.5
4 график
1 генератор
4.49 0.798 2.37 28.3 -18.9
2 генератор
14 0.686 3.07 148 -32.8
5 график
1 генератор
7.08 0.11 0.598 103 -12.4
2 генератор
14.6 0.458 2.48 415 -20.9
Таким образом, получим два вектора для двух генераторов:
vect1=[5.22 1.14 2.76 8.15 -5.96 6.83 0 1.68 42.1 -1.21 4.02 1.89 3.54 3.45 -21.5 4.49 0.798 2.37 28.3 -18.9 7.08 0.11 0.598 103 -12.4]
vect2=[11.6 0.936 3.07 37.8 -13.5 14.3 0 2.23 11.1 -5.31 12.2 0.988 3.73 48 -43.5 14 0.686 3.07 148 -32.8 14.6 0.458 2.48 415 -20.9]
Для централизованной системы были получены два аналогичных вектора:
vect1=[4.76 2.78 7.22 0.158 -0.5 6.94 0 1.83 51.2 -1.9 5.29 3 14 0.01 -15.7 5.29 1.62 2.89 8.03 -15.7 6.05 0.277 1.97 43 -11.7];
vect2=[14.8 0.42 3.09 139 -19.1 15.5 0 2.4 4 -10.6 6.44 3.13 7.41 1.11 -33 9.47 1.16 4.44 12.6 -31.7 13.4 0.491 1.43 69.4 -20.3].