39. Даны вершины треугольника а(хл; уА), в(хв; ув) и с(хс; ус). Найти точку пересечения медиан этого треугольника.

О Известно, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из медиан в отношении 2:1, считая от соответст­вующей вершины треугольника.

Найдем точку D—середину стороны ВС: x_D=(x_B+x_c)/2, y_D = (y_B+yc)/2-

Находим точку М, в которой пересекаются медианы; для этого разделим медиану AD в отношении Х = 2:1=2 (от А к D):

_x_A + Xx_D _х_а + 2-(х_в+х_с)/2 _х_А+х_в+х_с

^Хм 1+Х Г+2 ~ 3 ’

_Ул+ЬУр _Ул+2- {Ув+Ус)/2 У л +Ув+Ус ^Ум 1+Х 1+2 3

Таким образом, координаты точки пересечения медиан треугольника .равны среднему арифметическому одноименных координат его вершин, ф

39. Отрезок АВ задан точками А( — 9; —3) и 5(1; 2). До какой точки С нужно продолжить отрезок АВ, чтобы АВ:ВС =5:3?

О По условию, х_А—— 9, х_в= 1, у_А—— 3, у_в = 2, Х=АВ:ВС= 5:3. Требует­ся найти С (х_с/ у_с).

Для точки 5(1; 2), делящей отрезок АС в данном отношении, по­лучим:

-9+(S/3)*c -3+(5/3 )y_c

+ 5/3 ’ 1 + 5/3 ’

откуда x_c = l, y_c=5, т. e. С(7; 5). •

39. Вычислите координаты точки С—середины отрезка АВ, если:

А(5; -4) и В(-1; 2); 2) Л(6; -3) и Я(-2; -7).

39. Точка С делит отрезок АВ в отношении 3:5 (от А к В). Концами отрезка служат точки А (2; 3) и В (10; 11). Найдите точку С.

40. Отрезок, концами которого служат точки А(3; —2) и 2?(10; —9), делится точкой С в отношении 2:5. Найдите точку С.

41. Отрезок, концами которого служат точки А( — 5; —2) и В(4; 2,5), разделен в отношении 3:4:2 от А к В. Найдите точки деления.

42. Концом отрезка служит точка v4( — 3; —5), а его середи­ной— точка С(3; —2). Найдите второй конец отрезка—точку В.

43. Найдите точку пересечения медиан треугольника, если вершинами его служат точки: 1) А(7; —4), В(— 1; 8) и С(—12; —1); 2) А(-4; 2), В(2; 6) и С(0; -2).

44. Концами отрезка служат точки А(—8; — 5) и 5(10; 4). Найдите точки Си D, делящие этот отрезок на три равные части.

45. Точка С(3; 5) делит отрезок АВ в отношении АС:СВ=ЪА. Найдите начало отрезка—точку А, если его концом служит точка В(-1;1).

46. Точка С( — 2; 1) делит отрезок АВ в отношении АС:СВ=2:1. Найдите конец отрезка—точку В, если его началом служит точка А(—10; 5).

47. Отрезок задан точками А(—4; 7) и В( — 3; 5). Найдите на продолжении отрезка АВ такую точку С, чтобы АВ:ВС=\:7.

48. Отрезок задан точками А(—5; —2) и В(— 1; 0). До какой точки С нужно его продолжить, чтобы АВ:ВС=2:5?

§ 6. Скалярное произведение двух векторов

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов а к Б обозначается символом а •b. Таким образом, по определению,

a -Б=\ а | *|£| *cos(a,^5). (17.12)

Скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию другого вектора по направлению первого:

а^=\а\п^Б=\Ь1пща. (17.13)

Скалярным квадратом вектора а называется скалярное произведение а • а. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины:

а'а = а². (17.14)

Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух ненулевых векторов а и b является равенство нулю их скалярного произведения:

(афО, ЬФО, a-S=0)oa±S. (17.15)

Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов а и Б состоит в выполнении соотношения

аБ=±| а\\Б\ (17.16)

(при этом знак плюс соответствует случаю а\\Б, а знак минус—случаю «!Й-

Скалярное произведение векторов л=(^₁;.у₁) и b (х₂; у₂) выражается через их координаты по формуле

а -Б=х₁х₂+у₁у₂. ' (17.17)

Угол между двумя векторами а=(х₁;у₁) и Б(х₂;у₂) находится по формуле

_(|7|8)

•Jx\+y\^/х\+у\

Из этой формулы следует, что если векторы а и Б перпендикулярны, то

*1*2+71^2 = 0. (17.19)

^ 67. Векторы а и Б образуют угол (а, Б )=60°. Зная, что |а | = 6, 15"| = 3, вычислить (2а+5) *(2а—ЪБ ).

О Используя формулы (17.12) и (17.14), получим

(2 a+S) -(2в—35)=4а²—6 \а 11F | - cos 60° + 21 а ||£|cos60°-3P =

=4-6²—6-6-3*0,5+2-6-3-0,5—3 3² = 81. •

68. Найти скалярное произведение векторов а=(—3; 2) и В=(4; 3).

О По формуле (17.17) получим а •£=(—3) -4+2-3= —6. ф

68. Вычислить угол между векторами а=(—4; 3) и Ь=(3; —4). О По формуле (17.18) находим

соь(а,^Б)= ⁺ ^ ^ —= —0,96; (я,^5)= 163°,7. #

х/(—4)² + З² '_ч/3²+(—4)²

68. Проверить, перпендикулярны ли векторы: 1) а=( — 3; 2) и £=(4; 6); 2) с=(3/4; -1/5) и 2= (4/3; 5); 3) р=(-2; 5) и <?=(3; 1).

О По формуле (17.19) находим:

1. а SM-Ъ)-4+2-6=0, т. е а±£;

2. с-i?=(3/4) -(4/3)+(— 1 /5)-5=0, т. е. с±3;

3. р ■<)=(—2) - 3 + 5-1 = —1^0, т.е. pJLq. •

68. Найти работу силы F на перемещении s, если | F \ = 3, | s \ = 8 и (F,^As)=60°.

О Работа А вычисляется подформуле A = F -s= |F|-|i*|-cos(F, s), где F — вектор действующей силы, s—вектор пути. Имеем А = Ъ • 8 cos 60° = = 12(ед. работы), ф

68. Векторы а и Б образуют угол 120°. Зная, что | а | = 4, 15" | = 5, вычислите (2а—ЪБ)².