21. Дано: np_ta= — 1, ^,5 = 3. Вычислите: 1) прДя—В); 2) пр,^а+£^.

22. Докажите, что если для двух непараллельных осей / и п выполнены соотношения пр,я = 0 и пр„а = 0, то а = 0.

23. В каком случае проекция вектора на ось: 1) равна нулю; 2) равна по абсолютной величине длине данного вектора?

24. Векторы а и в симметричны относительно прямой /. Каким соотношением связаны между собой проекции этих векторов на ось п: 1) параллельную прямой /; 2) перпендикулярную прямой /?

25. Даны векторы а и В. _При каком положении оси / справедливо равенство пр_/а = пр_/5?

26. Найдите проекцию вектора а на ось /, образующую с вектором угол: 1) 45°; 2) 120°; 3) 150°. ^

27. Постройте векторы: 1) а = (—2; 4); 2) В=(3; 2); 3) а=АВ, если А(-1; -1), В(4; 1); 4) c = CZ), если С(0; 2), D(4;6\.

28. Найдите координаты вектора: 1) а=АВ, А ( — 2; —2), В(4; -1); 2) £=ЯС, JB(l; -3), С(4; _г5).

29. Даны векторы а ==[ — 2; — 3], £=(5; J)), с=(3; — 5). Найдите коо]эдиваты ректоров: 1) а+В; 2) а—с; 3) а+В— с; 4) 2а; 5) За — с;

а—2Ь + 2с.

21. Выразите через единичные векторы г и / векторы:

а —(—2; -4); 2) а=АВ; А(-1; 2), 2?(-2; -6).

21. Даны точки: л(—2; —3), в(2; 4) и с(5; 1). Разложите векторы а в, вс и с а по единичным векторам I n_j.

22. Проверьте, коллинеарны ли векторы ав и cd; если да, то сонаправлены ли они. Векторы соответственно заданы точками:

А{-3; 6), В( 1; 2), С(4;-6) и £>(-2; 0); 2) Л(-3; 1), 5(3; 3), С(-2; -3) и Z>(6; -1); 3) А(-3; -6), В{-1; 2), С(3; -5) и /)(5; 3).

§ 4. Длина вектора. Расстояние между двумя точками на плоскости. Углы, образуемые вектором с осями координат

Длина радиуса-вектора а=(х; у) находится по формуле

\а\=1/х²+у². (17.7)

Длина вектора а=АВ=(х_в—х_л; У_в~Уа) находится по формуле

\Гв\=^{х_в-х]¹+(у_в-у_л)¹. (17.8)

С помощью этой формулы вычисляется также расстояние между двумя точками на плоскости. ^

Углы, образуемые вектором а = АВ с осями координат Ох и Оу, находятся по формулам

cos ci=—— ^{Хв Хл} cos ft=—- - - ^{Ув Ул} (17.9)

у/(х_в-х_а)² + (Ув-Уа)² У(^в-^)² + (Уя-^)²

38. Найти длину вектора ав, если а( 1; 1) и в(4; — 3).

Q По формуле (17.8) находим |AB\-yJ(A—1)²+( — 3—1)² = 5. ф

Л -

39. Найти единичный вектор того же направления, что и вектор:

а — (3; 4); 2) Ь = (-6; -8).

О 1) Находим длину данного вектора: | а | = _ч/3²+4² = 5. Единичный вектор е того же направления, что и вектор а, равен е—а /\а \ = (\/5)а. Каждая проекция вектора е также в пять

раз меньше соответствующей проекции вектора а, поэтому е=(3/5) Г+ (4/5)I или ?=(3/5; 4/5).

2) Аналогично получим е = (—0,6; —0,8). #

39. Найти косинусы углов, образуемых заданными векторами с осями координат: 1) а — АВ, А(2; —3); 5(1; 4); 2) Ь = ВС, 5( — 1; 1), С(2; 5).

1. По формулам (17.9) находим

1-2 _г cos а = —- — —= —0,1 х/2;

_v/(1_₂)² + (4+3)²

4+3 г

cos Р= - - =0,7_Л/2.

л^/ (1 — 2) +(4+3)²

2. В этом случае получаем cos а = 0,6; cos р = 0,8. ф

39. Даны тючки а[4; 0), 5(7; 4) и с ( — 4; 6). Найдите длины векторов: 1) ав; 2) 2?с; 3) с4.

40. Вычислите периметр треугольника, вершинами которого слу­жат точки: 1) А (4; 0), В(1\ 4) и С(-4; 6); 2) Л (6; 7), В(3; 3) и С(1; -5).

41. Найдите косинусы углов, образуемых заданными векторами с осями координат: 1) а = АВ, А(—2; —3); 5(3; 9); 2) 8= ВС, 5(4; -1); С(0; 2).

42. Найдите точку, равноудаленную от точек: 1) А(1; —1), 5( —2; 2) и С(— 1; -5); 2) ^(10; 7), 5(-4; -7) и С(12; -7).

43. Найдите центр окружности, проходящей через точки А(— 1; 9), 5( —8; 2), С(9; 9), и длину ее радиуса.

44. Расстояние от точки М, лежащей на оси Ох, до точки Дг(10; 5) равно 13. Найдите точку М.

45. Расстояние от точки 5, лежащей на оси Оу, до точки А(3; —1) равно 5. Найдите точку 5.

46. Вычислите координаты точки на оси Оу, равноудаленной от точек: 1) А( — 4; 0) и 5( — 3; —7); 2) Л( — 3; —1) и 5(6; 2).

47. Найдите точку на оси Ох, равноудаленную от точек:

А(5; 13) и 5(—12; -4); 2) А(0; 6) и 5(2; -4).

39. Вычислите координаты точки М, равноудаленной от осей координат и от точки: 1) А( — 8; —1); 2) А (4; 2).

40. Найдите точку М, расстояние которой от оси ординат и от точки А (8; 6) равно 5.

41. Вычислите координаты точки М, расстояние которой от оси абсцисс и от точки А( 1; 2) равно 10.

39. Отрезок, концы которого А (—11; 1) и В(9; И), разделен в отношении 2:3:5 (от А к В). Найти точки деления.

О Обозначим точки деления от А к В через С и D. По условию,

х_А= —11, х_в = 9, у_А= 1, у_в= 1 и AC:CD:DB=2:3:5. Точка С делит АВ в

АС 2 2 1

отношении л,= = =-=-• значит,

СВ 3+5 8 4

_ 11Ч- (1 /4) • 9 _ 1 +(1/4) 11

1 + 1/4 - ⁷’ , _{+ 1/4} -3, С( 7,3).

Точка D служит серединой А В, поэтому

“^п+⁹ , ! + ^п ^

*d=—=—=-i; Уо=—^—=^ />(—1; 6). •