5. Разложение вектора по координатным осям. Разложение вектора а в базисе (/, ]) имеет вид

a=xT+yj, (17.4)

где /—единичный вектор на оси Ох, а /—единичный вектор на оси Оу (рис. 112). Числа х и называются координатами вектора а в базисе (£ /).

Векторы xi и yj называются составляющими (или компонентами) вектора а по осям координат.

Если начало вектора а находится в точке А(х_а; у_А), а конец—в точке В(х_в; у_в), то разложение вектора а записывается в виде

а=АВ =(х_в-х_А)1+(у _B-y_A)j. (17.5)

6. Правила действий над векторами, заданными своими координатами.

Если в базисе (?,у) заданы векторы а = (х₁\у^) и В=(х₂;у₂)> то:

координаты суммы двух (или более) векторов равны суммам соответст­вующих координат слагаемых, т. е. a+b = (x j +jc₂; у_х +у₂);

координаты разности двух векторов равны разностям соответствующих координат этих векторов, т. е. a—b = (x_l — x₂;y_l—y₂);

координаты произведения вектора на число равны произведениям соответствующих координат данного вектора на это число, т. е. та = (тх myj.

7. Условие коллинеарности двух векторов. Условие коллинеарности двух векторов а = (х₁;у₁) и Ь = (х₂;у₂) имеет вид

x_l=mx₂, 7i — ту₂, (17.6)

т. е. если соответствующие координаты двух векторов пропорциональны, то векторы коллинеарны.

т-2)

Рис. 114

Рис. ИЗ

Если т>О, то векторы а и Ь имеют одинаковое направление; если т<О, то направления векторов противоположны.

20_д Дано пр*я=—2; up_tB=\. Вычислить: 1) пр*(2а+5); 2) пр,(Зо—25).

О Используя свойства проекций, получим:

1. пр,(2я+Й) = 2пр _z я+пр, 5=2 * (—2)-h 1 = —3;

2. np_l(3e-25) = 3np_Ie-2np_lf=3 (—2)—2• 1 = —8. *

21. Найти проекцию вектора а на ось /, образующую с вектором угол 60°, если \а\ = 6.

О По формуле (17.2) получим пр,я = 6 cos60° = 3. ф

21. Построить: 1) вектор а = (3; —2); 2) вектор а = АВ, если Л(-1; -2), 5(4; 3).

О 1) Строим радиус-вектор с концом в точке ЛГ(3; —2) (рис. 113). Радиус-вектор ОМ—искомый.

2) Строим точки А(— 1; —2)—начало вектора и 2?(4; 3)—конец вектора (рис. 114). Вектор АВ—искомый, ф

21. Найти координаты вектора а = АВ, если А(— 1; —2), /?(4; 5).

О По формуле (17.3) получим а=АВ=(4—(—1); 5—(—2))=(5; 7). •

21. Выразить через единичные векторы I и j следующие векторы:

о=(—2; 4); 2) а=ЛЯ, А{-2; -1), 5(4; -3).

О 1) Здесь х= —2, у=4. По формуле (17.4) получим а= — 2Н-4/

2) По формуле (17.5) находим

а=АВ=(4—(—2))Т+(—3—(— 1))/=бГ—2/ •

21. Проверить, коллинеарны ли векторы ав и с/); если да, то сонаправлены ли они. Векторы соответственно заданы точками:

A(l; 1), 5(7; 3), С(-4; -5) и £>(5; -2); 2) ^(2; 1), В(-4; 4), С(—1; -1) и £)(7; -5); 3) Л(2; 1), 5(6; 5), С(3; -1) и D(7; -2).

О 1) По формуле (17.3) находим координаты векторов: АВ=(6; 2), С/)=(9; 3). Используя соотношения (17.6), устанавливаем, что координаты этих векторов пропорциональны: 6/9 = 2/3=т>0; следовательно, векторы коллинеарны и сонаправлены.

1. Аналогично получаем: АВ=( — 6; 3), CZ>=(8; —4), (—6)/8 = 3/(—4)= =т< 0; следовательно, векторы коллинеарны и противоположно направ­лены.

2. Имеем АВ=(4; 4), С£>=(4; —1); так как 4/4^(—1)/4, то координаты не пропорциональны и, следовательно, векторы не коллинеарны. ф