11. По данным векторам а, В, с постройте вектор а+В + с.

12. Какому условию должны удовлетворять три вектора а, в и с, чтобы из них можно было образовать треугольник?

13. Найдите модуль равнодействующей двух^ил F_t и F ₂ и углы, образуемые равнодействующей с силами F_x и F _ъ если модули сил равны F_x = 8Н и /^Г₂ = 5Н, а угол между ними равен 30°.

14. При каких значениях m длина вектора jna (где аф]0) удовлетворяет условиям: 1) \та\ = \а\; 2) \та\>\а\; 3) |wa|<|a|?

15. В треугольнике ЛВС медианы АА_Х и СС₁ пересекаются в точке М. Найдите множитель т, если: 1) А_ХС =т-ВС\ 2) С^В =т-С₁А ; 3) АМ = т-МА~\

16. Точка м—середина стороны треугольника авс. Выра­зите см через векторы ав и вс.

17. Докажите, что средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований.

18. Дан правильный шестиугольник ABCDEF, О—его центр, ОА = а, О В = В. Найдите ОС, OD, ОЕ и OF.

§ 3. Прямоугольная система координат

1. Ось. Угол между вектором и осью. Прямая, на которой выбрано положительное направление и задана единица измерения длины, называется осью.

Вектор е, имеющий длину | е \ = 1 и направление, совпадающее с направлением оси, называется единичным вектором (ортом) этой оси.

Если аф0 и е—вектор единичной длишл, направление которого Совпадает с направлением вектора а\ jo а=\а\-е.

Углом между ненулевым вектором аФ 0 и осью I называется угол между

направлениями оси и вектора: (а, /) = ф, где 0^ср<180°.

2. Проекция вектора на ось. Проекцией вектора на ось называется направленный отрезок на оси, начало которого есть проекция начала вектора и конец — проекция его конца. Длина этого направленного отрезка берется со знаком плюс, если направления отрезка и оси совпадают, и со знаком минус, если их направления противоположны (рис. 107).

Проекция вектора а^О на ось / равна длине этого вектора, умноженной на косинус угла <р между осью и вектором (рис. 108):

np_ta = \ а | coscp. (17.2)

Отметим свойства проекций:

пр_/(л+5) = пр ,я + пр,5; пр ₁(та) = т пр_ta.

3. Прямоугольная система координат. Пусть на плоскости задана пара единичных взаимно перпендикулярных векторов i и у, отложенных от некоторого начала—точки О (рис. 109). Такую пару векторов называют

I

Рис. 109

прямоугольным базисом на плоскости. Совокупность начала О и прямо­угольного базиса (/, j) называют прямоугольной системой координат^ на плоскости. Точку О называют началом координат, а векторы Г и j — координатными векторами.

4. Координаты вектора. Вектор, направленный из начала координат в произвольную точку М плоскости хОу, называется радиусом-вектором точки М и обозначается г: ОМ = г (рис. 110).

Проекции вектора г на координатные оси, т. е. пр_хг=л; и пр_Уг=у, называются координатами ^вектора (рис. 110).

Координаты вектора г кратко записывают так: г=(х; у).

х х

Рис. 110

to

Рис. 112

Координаты радиуса-вектора г=ОМ являются одновременно координа­тами точки М, т. е. конца радиуса-вектора г.

Если начало вектора а = АВ не совпадает с началом координат, то координаты вектора а и координаты его конца различны (рис. 111). В этом случае проекции вектора а = АВ на оси координат соответственно равны х=х_в-х_А и у=у_в-у_А, Т._е.

а=АВ ={х; у)=(х_в-х_Л; у_в-у_л). (17.3)