§ 2. Сложение и вычитание векторов.

УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО

1. Сложение векторов. Для того чтобы построить сумму двух данных векторов а и В, нужно выбрать произвольную точку А и отложить от нее

вектор АВ=а, а затем от точки В отложить вектор ВС=Б. Тогда вектор АС

является искомой суммой: а+В=АВ +ВС=АС=а (рис. 98).

Вектор с=а+В называют замыкающим вектором, а векторы а и В — составляющими векторами. Этот способ построения называется правилом треугольника.

Рис. 98 Рис. 99 Рис. 100

Правило треугольника можно сформулировать_и так: если А, В и С—произвольные тонки плоскости, то АВ+ВС=АС.

Это равенство называют правилом трех точек.

Сумму двух данных векторов а и В можно построить и следующим образом. Откладывая от произвольной точки О (рис. 99)_векторы ОА=а и ОВ=В, построим параллелограмм О АС В. Тогда вектор ОС (где [OCJ—диа­гональ параллелограмма) является искомой суммой: а+В=ОА +ОВ= = ОА + АС=ОС=с7 Этот способ построения называется правилом параллелограмма.

Для того чтобы построить сумму п данных векторов а₁₉ а₂, •••, а_ю нужно от произвольной точки О отложить вектор a_l9 затем от конца вектора я j отложить вектор а₂, наконец, от конца вектора отложить вектор а_п. Тогда вектор, начало которого совпадает с началом вектора а _1?ji конец—с концом вектора а_п, является искомой суммой: с=а ₁+а₂ + \... + а_п (рис. 100).

2. Вычитание векторов. Два вектора называются противоположными, если их сумма равна нулевому вектору. Вектор, противоположный вектору

а, обозначают—а. Таким образом, а+(—а)=0.

Ненулевые противоположные векторы имеют равные длины и противо­положные направления (рис. 101).

Вектор с называется разностью вео'оров а и Ь, если с+Ь = а.

Чтобы вычесть из вектора а вектор достаточно прибавить к вектору а вектор, противоположный вектору 5, т. е. а—В=а+(—В) ^ (рис. 102).

Другой способ построения разности векторов а и В состоит в следующем. Откладывая от произвольной точки О векторы ОА=а и ОС——В (вектор, противоположный вектору В), получим ОВ=а—В (рис. 103).

3. Умножение вектора на число. Произведением ненулевого вектора а на число т называется вектор, имеющий направление вектора а, если га>0, и противоположное направление, если т< 0. Длина этого вектора равна произведению длины вектора а на модуль числа т.^

Произведение вектора а на число т обозначается та. При любых ти а векторы та и а коллинеарны и \та \ = \т\ -\а |.

4. Угол между двумя векторами. Углом между двумя ненулевыми векторами а и В называется угол между направлениями этих векторов:

(а, Ъ )=ф, где (Кф<180°. ^ ^

Частные случаи: 1) если а\]В, то (я, Ь)=0; 2) если а][В, то

(а,^Л5') = 180°. _ _

8. Дано: а, В, (а, Ь). Найти модуль вектора с = а + 5.

О По теореме косинусов имеем c² = a²+b² — 2abcosC. Так как cos С=cos [180°—(а, В)] = —cos(а, В), то *

с=\/a²-\-b² + 2 ab cos (af^B). •

9. Найти модуль равнодействующей R двух сил и F ₂ и углы, образуемые равнодействующей с силами и f₂, если F_t=4H и jp₂ = 6 Н, а ф = 60° (рис. 104).

О Используя формулу предыдущей задачи, находим

_JR=_v/4² + 6² + 2-4-6 cos60° = ,/16+ 36+ 24=^/76 = 8,72 (Н).

По теореме синусов имеем

F₂/smoL=F_l/sin (3 = Л/sin(180° — ф)=Д/sin ф.

Следовательно,

sin а=(F₂ sin ф) / R=(6 sin 60°)/ 8,72 = 0,596; а=36°, 6; sin р=sin ф)/JR=(4 sin 60°)/8,72 = 0,397; p = 23°, 4.

Контрольное вычисление: а+р = 36°,6+23°4, = 60°. ф

Ю^Цан ненулевой вектор^ О А. Отложить от точки О векторы:

1. ЗОЛ; 2) -20А; 3) 0,504; 4) -0,7504; 5^^204.

О На рис. 105 изображены векторы ЗОЛ и —20А. Остальные векторы отложите самостоятельно, ф

11. Векторы АС=т и BD=n сл^жат^диагоналями параллело­грамма ABCD. Выразить векторы АВ, ВС, CD и DA через тип (рис. 106).

О По определению суммы и разности векторов_^имеем BC+CD=n, BC—CD=m. Сложив эти равенства, получим ВС=(т+п)/2. Далее, находим: ,

CD=n—BC = и — ( т+п)/2 = (п—т)/2,

АВ= —(п—т)/2=(т—п)/2, DA = —ВС= —(т+п) /2. ф