§ 2. Решение линейных неравенств с одной переменной

1. Числовые множества. Множество Q всех рациональных чисел и множество J всех иррациональных чисел образуют множество R действи­тельных (вещественных) чисел.

Числовым множеством называется любая совокупность действительных чисел, например: N—множество натуральных чисел, Z—множество целых чисел.

Множество называется конечным, если оно состоит из конечного числа элементов; в противном случае оно называется бесконечным.

Множество R всех действительных чисел называют числовой прямой, а сами действительные числа—точками числовой прямой.

Наиболее часто встречаются следующие числовые множества: замкнутый промежуток (или отрезок) с началом а и концом b: а^х^Ь или [я, Ь ]\ число Ъ—а называется длиной промежутка с концами а и Ъ\ открытый промежуток (или интервал): а<х<Ь или (я, Ь); полуоткрытые промежутки: а<х^Ь; а^х<Ь;

бесконечные промежутки (лучи, полупрямые): а<х< + оо; а^х< 4- оо;

• оо <х<а; —оо <х^а;

числовая прямая R записывается неравенствами — оо<х<4-оо.

Если я является элементом множества А (принадлежит А), то используется обозначение а*=А. Например, запись k<=Z означает, что к—целое число или нуль.

Множество упорядоченных пар действительных чисел называют число­вой плоскостью и обозначают R², а любую упорядоченную пару действи­тельных чисел—точкой числовой плоскости.

2. Неравенства и их свойства. Решением неравенства называется значение переменной, при котором неравенство истинно (обращается в верное числовое неравенство).

Решить неравенство—значит найти множество его решений. Неравенства называются равносильными, если множества их решений равны.

При решении неравенств применяются их основные свойства:

1°. Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число, то получится неравенство, равносильное данному.

2°. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится неравенство, равносильное данному.

3°. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противопо­ложный.

4°. Транзитивность: а<Ь и Ь<с=>а<с.

5°. Правило сложения (вычитания) неравенств:

а<Ь а<Ъ

c<d d>c

a+c<b+d a—d<b—c

т. е. неравенства одного смысла можно складывать, а противополож­ного —вычитать.

6°. Правило умножения неравенств:

0«г<б)

>=>ас<Ьа.

О < с < d)

Следствие: О<а<Ь=>а^п<Ь^п (для любого и>0).

3. Линейные неравенства. Линейным неравенством называется неравенст­во вида ах+Ь>0 (или ах-\-Ь<0), где а и Ь—действительные числа. Если а>0, то (ах+Ь>0)о(х> —Ь/а).

Если ж0, то (ах+Ь>0)о(а<-Ь/а).

12. Решить неравенства:

1\ . i 4-Ъх 2х-\ 5х—2

1. х+4>2—Зх; 2) ——<— —; 3) (х—З)² —11 ^(х+2)²; 4) (2х— I)² —8х<(3 —2х)²; 5) (х—2)² — 2х+10<(3—х)².

О 1) ((х+4)>2 — Зх)<?Ц4х> — 2)о(х> — 0,5). Ответ: — 0,5<х<+оо.

2. Умножив обе части неравенства почленно на 12, получим (4 (4 - Зх) < 3 (2х -1) - 2 (5jc - 2))о( - 8х < -15)о(х > 15/8).

Ответ: 15/8<х<+оо.

3. ((х—З)² — 11 ^ (х+2)²)о(х² — 6х 4- 9 — 11 ^ х²+4х 4- 4)о( — 1 Ох ^ 6)о о(х< — 0,6). Ответ: — оо<х^ — 0,6.

4. ((2х— I)² — 8х<(3 —2х)²)о(4х²—4х+ 1 — 8х<9 — 12х+4х²)<*>(0 * jc<8). Данному неравенству удовлетворяет любое значение х. Ответ:

оо<х< +00.

5. ((х—2)² — 2х +10<(3—х)²)о(х²—4х+4—2х+10<9—6х+х²)о о(0 х<—5). Данное неравенство решений не имеет. #

Решите неравенства:

12. 1) х+6>2 —Зх; 2) 4(х— 1)^2 + 7лг; 3) 3(jc-2)^4jc-9; 4) 2(3 + 5х)<3 (lx-4) -4.

_ _ч Зх 3 _ 37—2х Зх—8 _

12. 1) —— -<4х —3; 2) ^_+х^——-9;

2 5 3 4

7—6х 20х+1 . 5—х 3—2х _

3) —2 Н0х<— 1-2; 4) _ + — >0. 17. 1) (х-1)² —5<(х+4)²; 2) (1+х)²+Зх²<(2х-1)²-18; 3) (2х+1)²-8^(3-2х)²; 4) 8х² + (х+ 1)²>(2-Зх)²+4. 18. 1) 4х—7<3+4х; 2) (Зх-1)²-6х<(2-Зх)²;

3. (х—3)²>(1+х)² —8х.

19. 1) 5х—4>7 + 5х; 2) (х-1)²-2х+10<(2-х)².