3. Составить всевозможные перестановки из элементов: 1) 1; 2) 5, 6; 3) а, ь9 с.

4. Вычислить значения выражений: 1) 5!+ 6!; 2) О 1) 5! + 6! = 5- 4- 3*21+6*5-4-3*21 = 120 + 720 = 840;

5. Вычислить: 1) С}³; 2) Сб + С?. О Согласно формуле (16.7), получим:

6. Решить систему уравнений

О 1) (1); Л = 1; 2) (5, 6); (6, 5); Р₂ = 1 -2 = 2; 3) (а, Ь, с); (а, с, Ь); (Ь, а, с); (с, а, />); (с, Ь, а); Р_ъ = 1 • 2 • 3 = 6. •

О Решим второе уравнение: (С* = 66) о ^^ -^=66^ о

о(х²—х— 132 = 0)<=>(лг_± = — И, *2 = 12). Так как х>2, то jq = — 11 не удовлетворяет условию задачи.

Подставив jc= 12 в первое уравнение системы, получим С\₂ = С{₂². Используя формулу (16.9), имеем Ci₂ = C[₂~^y. Тогда C{₂~^y = C^yi2² и, следовательно, 12—у=у+2, откуда у = 5. Итак, получаем ответ: jc=12, У —5- •

7. Найдите число размещений: 1) Л%₅, 2) AZ-?.

8. Вычислите: 1) Ат + А% + А\\ 2) 3) А\'А\'А\.

As

7. 30 учащихся обменялись друг с другом фотокарточками. Сколько всего было роздано фотокарточек?

8. Сколькими способами из восьми кандидатов можно выбрать три лица на три должности?

9. Решите уравнения: 1) А³-₂ = 4А²-₃; 2) 20Al-₂ = Al\

А*=\5А1-₂.

X 1

7. Решите уравнения: 1) А7 = 42*; 2) —=—; 3) Am+i = 5m(m+\);

А_х 12

A^+Al₌ 1 _Аг _ХААъ Ai

7. Составьте всевозможные перестановки из букв: а, Ь₉ с, d.

101-8* 5’+ 6*

7. Вычислите значения следующих выражений: 1)———; 2) - ;

3. 6! (7! —3!).

7. Докажите тождества:

^!) ^^=(^m+1)(^wl+²)(^w+³)(^wj+⁴); ²> ^|=(«-²>(и-з).

. , _ п\ __ч («—3)! __ч 2т(2m— 1)

7. Сократите дроби: 1) 2) L_!_{; 3})

8. Выполните действия:

_п ¹ , ¹ . _J I. 04 я(и—1)(н-2)(я-3)(я-4)

’ и! >+1)’ ’ (я+1)! л!’ ’ (я—3)!

7. Сколько нужно взять элементов, чтобы число всех переста­новок из этих элементов: 1) не превышало 100; 2) было меньше 200?

8. Сколькими способами можно составить список из 10 человек?

9. Сколькими способами можно распределить 12 классных комнат под 12 учебных кабинетов?

10. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3,

5 без повторений?

7. Сколькими способами можно рассадить 7 человек по 7 местам?

7. Вычислите: 1) С\°₂; 2) С?*₀; 3) С|; 4) С}™ + С}₀₀.

8. Проверьте равенства:

26. Число сочетаний из п элементов по 3 в пять раз меньше числа сочетаний из п+2 элементов по 4. Найдите п.

27. Сколькими способами из 15 рабочих можно создать бригады по 5 человек в каждой?

28. Решите системы уравнений:

§2. Случайные события. Вероятность события

1. Случайные события. Изучение каждого явления в порядке наблюдения или производства опыта связано с осуществлением некоторого комплекса условий (испытаний). Всякий результат или исход испытания называется событием.

Если событие при заданных условиях может произойти или не произойти, то оно называется случайным. В том случае, когда событие должно непременно произойти, его называют достоверным, а в том случае, когда оно заведомо не может произойти,—невозможным.

События называются несовместными, если каждый раз возможно появление только одного из них. События называются совместными, если в данных условиях появление одного из этих событий не исключает появление другого при том же испытании.

События называются противоположными, если в условиях испытания они, являясь единственными его исходами, несовместны.

Вероятность события рассматривается как мера объективной возмож­ности появления случайного события.

2. Классическое определение вероятности. Вероятностью события А называется отношение числа исходов т, благоприятствующих наступлению данного события А, к числу п всех исходов (несовместных, единственно возможных и равновозможных), т. е.

(16.11)

Р(А) = т/п.

Вероятность любого события не может быть меньше нуля и больше единицы, т. е. 0<Р(4)<1. Невозможному событию соответствует вероят­ность Р(Л)=0, а достоверному—вероятность Р(А)=1.

26. В лотерее из 1000 билетов имеются 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный?

О Общее число различных исходов есть л =1000. Число исходов, благоприятствующих получению выигрыша, составляет т = 200. Согласно формуле (16.11), получим Р(А)=200/1000= 1/5 = 0,2. ф

26. Из урны, в которой находятся 5 белых и 3 черных шара, вынимают один шар. Найти вероятность того, что шар окажется черным.

О Обозначим событие, состоящее в появлении черного шара, через А. Общее число случаев « = 5 + 3 = 8. Число случаев т, благоприятствующих появлению события А, равно 3. По формуле (16.11) получим Р(А)= = т/п = 3/8=0,375. •

26. Из урны, в которой находятся 12 белых и 8 черных шаров, вынимают наудачу два шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся черными?

О Обозначим событие, состоящее в появлении двух черных шаров, через А. Общее число возможных случаев п равно числу сочетаний из 20 элементов (12 + 8) по два:

”^=cio=T^⁼¹⁹°-

8-7

'I-

Число случаев т, благоприятствующих событию А, составляет

m = Cl=—-=28.

1-2

По формуле (16.11) находим вероятность появления двух черных шаров: Р(Л)=т/л=28/190= 14/95=0,147. •

26. В партии из 18 деталей находятся 4 бракованных. Наугад выбирают 5 деталей. Найти вероятность того, что из этих 5 деталей две окажутся бракованными.

О Число всех равновозможных независимых исходов л равно числу сочетаний из 18 по 5, т. е.

• 18 17 16 15 14 _

^Cl8= Г 2• 3 4-5 ⁼⁸⁵⁶⁸‘

Подсчитаем число исходов т, благоприятствующих событию А. Среди 5 взятых наугад деталей должно быть 3 качественных и 2 бракованных. Число способов выборки двух бракованных деталей из 4 имеющихся бракованных равно числу сочетаний из 4 по 2:

Число способов выборки трех качественных деталей из 14 имеющихся качественных равно

. 141312 _

^Cl4“ 1-2-3 ~ ³⁶⁴'

Любая группа качественных деталей может комбинироваться с любой группой бракованных деталей, поэтому общее число комбинаций т составляет

m = Cl • С?4 = 6 • 364=2184.

Искомая вероятность события А равна отношению числа исходов т, благоприятствующих этому событию, к числу л всех равновозможных независимых исходов:

26. В ящике с деталями оказалось 300 деталей I сорта, 200 деталей II сорта и 50 деталей III сорта. Наудачу вынимают одну из деталей. Чему равна вероятность вынуть деталь I, II или III сорта?

27. В урне находятся 20 белых и 15 черных шаров. Наудачу вынимают один шар, который оказался белым, и откладывают его в сторону. После этого берут еще один шар. Найдите вероятность того, что этот шар также окажется белым.

28. В урне находятся 7 белых и 5 черных шаров. Найдите вероятность того, что: 1) наудачу вынутый шар окажется черным;

два наудачу вынутых шара окажутся черными.

26. Считая выпадение любой грани игральной кости одинаково вероятным, найдите вероятность выпадения грани с нечетным числом очков.

27. В коробке имеются 30 лотерейных билетов, из которых 26 пустых (без выигрышей). Наугад вынимают одновременно 4 билета. Найдите вероятность того, что из 4 билетов два окажутся выигрышными (см. задачу 32).