55. Найдите частные решения уравнений:

1. /'—10/ + 25^ = 0; у = 2 и / = 8 при х=0;

2. 56. Решите уравнения:

   d²y ₂ dy dx² dx

   у” + 6у' + 9у = 0; >> = 1 и / = 2 при х=0.

1. у" + 9у=0\ у= 1 и у'= —6 при х = п/3;

2. у"—4у' + 5^ = 0; у=\ и у' = — \ при л: = 0.

§6. Смешанные задачи

Найдите частные решения дифференциальных уравнений:

58. ds—scigtdt = 0\ s=2 при t = n/2.

59. (A —y)dx+(\+x)dy = 0; у — 3 при х=\.

60. (\—x²)dy = xydx; у= 1 при л:=0.

61. д:²ф + (х— l)j>dx = 0; }>=1 при jc= 1.

62. ——2у—4 = 0; j= — 1 при д: = 0. dx

dy 1

58. —+>;=—; у = 5 при х = 0. dx е

ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА

вариант II вариант

Найдите частные решения диф- Найдите частные решения диф­

ференциальных уравнений: ференциальных уравнений:

1. 4xydx=(x² + l)dy; 1) (x² + l)dy = xydx;_ y=4 при x=l. у—2 при х=^3.

2. y' + 4y—2 = 0; 2)/ = 4>>—2; y= 1,5 при x=0. v= 1,5 при x=0. d²s ds

3)—=6f+8; j=12 и -=-5

dt² dt

d²s

—-=6r-4; 5=5 и при t= —2.

J*2

ds d²y dy

=6 при / = 2. 4) ————

dt dx² dx

d²y dy dy 5)—r-4 1-13 = 0; y=3 и —= 11 при x=0.

dx

dy

y = 2 и —=1 при x = 0. dx

Глава 16 элементы комбинаторики и теории вероятностей

§1. Элементы комбинаторики

Группы, составленные из каких-либо элементов, называются соедине­ниями.

Различают три основных вида соединений: размещения, перестановки и сочетания.

Задачи, в которых производится подсчет возможных различных соедине­ний, составленных из конечного числа элементов по некоторому правилу, называются комбинаторными. Раздел математики, занимающийся их реше­нием, называется комбинаторикой.

1. Размещения. Размещениями из п элементов по т в каждом называются такие соединения, которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо порядком их расположения.

Число размещений из п элементов по т обозначается символом А™ и вычисляется по формуле

(16.1)

Л”=и(и-1) (п—2)... [и—(m— 1)].

2. Перестановки. Перестановками из п элементов называются такие соединения из всех п элементов, которые отличаются друг от друга порядком расположения элементов.

Число перестановок из п элементов обозначается символом Р_п.

Перестановки представляют частный случай размещений из п элементов по л в каждом, т. е.

Р_я=А”=п(п-1)(п-2)...3.2Л

или

(16.2)

Р„=1 - 2 • 3... («— 1)и.

Число всех перестановок из п элементов равно произведению последо­вательных чисел от 1 до п включительно. Произведение 1 • 2 • 3... (п— \)п обозначают символом п\ (читается «я-факториал»), причем полагают 0! = 1, 1! = 1. Поэтому равенство (16.2) можно переписать в виде

(16.3)

Л т Я '

^Л"-р_п.~{п-тУ

(16.4)

(16.5)

При решении задач часто используется равенство АЧ⁺'={п-т)АЧ.

3. Сочетания. Сочетаниями из п элементов по т в каждом называются такие соединения, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.

Число сочетаний из п элементов по т обозначается С™. Оно находится по формуле

(16.6)

которую можно записать также в виде

или

т\

(16.8)

Кроме того, при решении задач используются следующие формулы, выражающие основные свойства сочетаний:

(16.9)

(16.10)

1. Найти число размещений: 1) из 10 элементов по 4; 2) из п+4 элементов по п — 2.

О Согласно формуле (16.1), получим:

1. to = 10 -9*8*7 = 5040;

2. Л;+4=(и+4)(и+3) ... [п+4—(и—2—1)]=(п+4)(п+3)... 8 • 7. •

2. Решить уравнение А% = 30А*-₂-

О Используя формулу (16.1), перепишем уравнение в виде

и (и— 1)(л — 2) (л—3)(л—4) = 30 (и—2) (л—3)(л —4) (л—5).

Учитывая, что л^6, разделим обе его части на (л—2)(и—3)(л—4); далее,

имеем

(п(п— 1) = 30(л —5))о(л² — 31л+ 150 = 0)о(л₁ = 6; л₂ = 25). #