§4. Неполные дифференциальные уравнения второго порядка

Уравнение, содержащее производные (или дифференциалы) не выше второго порядка, называется дифференциальным уравнением второго порядка. В общем виде уравнение второго порядка записывается следующим образом:

Общее решение дифференциального уравнения второго порядка содер­жит две произвольные постоянные.

32. Найти общее решение уравнения 3-^=sin jc.

dx²

О Это неполное дифференциальное уравнение второго порядка вида

откуда dz = sin xdx. Интегрируя последнее равенство, получим J d!z = J sin jc dx, т. e. z=— cosx+C₁.

Следовательно,

dy

—-= -cosx+ C_l5 т. e. dy=(—cosx+C^dx. dx

Снова интегрируя, находим

jdy — j(—cosx+Cjdx, или y= — втх+С^+Сз- Это и есть общее решение данного уравнения, ф

32. Найти частное решение уравнения ^Л=2^-, если у=4 и %= 1

dx¹ dx ⁷ 2 dx

при jc=0.

О Это неполное дифференциальное уравнение второго порядка вида

d²y J dy\ dy d²y dz dz

—r=/|— . Положим =z; тогда —г=— и, значит, =2z. Разделив в dx² \dxj dx dx² dx dx

НИИ

= 2dx; j*——2^' dx, lnz=2x+C_x; z=e^2x+cK

этом уравнении переменные и интегрируя, получим dz z

Следовательно,

dy

dx = e²^, (*)

т. e. dy=e^2x+c'dx. Интегрируя, находим общее решение данного уравнения:

у=(\/2)е^2х+с> + С₂. (**)

Для нахождения искомого частного решения подставим в соотношения (*) и (**) начальные данные:

(\₌₌е^20+с',

\3/2 = (1/2)е^{2 0+с}> + С₂, ““ |з/2=(1

(1/2) е^с‘ + С₂,

откуда С 1=0, С₂ = 1* Таким образом, искомое частное решение имеет вид у=(\/2)e^ix+l. ф

d²y 1 dy

32. Найти частное решение уравнения —%=—- -f-, если у = 2 и

dx^z х+2 dx

{j jto нег

d²y_J dy\

dx² V dx)'

dy d²y dz

—=z; тогда

Положим —=z; тогда =—. Подставив выражения для

d у dy dz 1

—г- и — в данное уравнение, получим —= z. Разделив переменные и

dx dx dx х+2

интегрируя, имеем

dz dx Г dz Г dx

—= \nz=\n(x+2)+\nC_l,

z x+2 J z J x+2

откуда z = C₁(.x;+2). Следовательно,

%⁼C_t(x+2). (*)

Теперь можно найти общее решение данного уравнения:

>>=(1/2) C₁jc² + 2C₁x+C₂. (**)

Найдем частное решение, подставив в уравнения (*) и (**) начальные данные:

8 = С, (2 + 2),

2. = (1/2) С₁-2² + 2С₁-2 + С₂,

откуда Cj= 2 и С₂= —10. Таким образом, искомое частное решение имеет вид у=х² + 4х—10. #

Найдите частные решения уравнений, удовлетворяющие указан­ным начальным условиям:

43. Ускорение свободно падающего тела удовлетворяет уравне-

d²s

нию -^=g (g~9,8 м/с²). Найдите закон движения тела, если s=s₀ и ds

• = v₀ в момент времени / = 0. dt

§5. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

d²y dy

~dS^+pT_x-

—+p—+qy=0, (15.1)

где р и q—постоянные величины.

Для отыскания общего решения уравнения (15.1) составляется характе­ристическое уравнение

r²+_pr+q = О, (15.2)

d²y dy

которое получается из уравнения (15.1) заменой —-, — и у на соответ-

dx² dx

ствующие степени г, причем сама функция у заменяется единицей.

Тогда общее решение дифференциального уравнения (15.1) строится в зависимости от корней г₁ и г₂ характеристического уравнения (15.2). Здесь возможны три случая.

1. случай. Корни rj и г₂—действительные и различные. В этом случае общее решение уравнения (15.1) имеет вид

у = С_хе^Т'^х+С_ге^Т*. (15.3)

2. случай. Корни и г₂—действительные и равные: r₁ = r₂=r. Тогда общее решение уравнения (15.1) записывается так:

У={С^С₂х)е^гх. (15.4)

3. случай. Корни г₁ и г₂—комплексно-сопряженные: г₁ =а-Ьр/; г₂ = а—(3/. В этом случае общее решение уравнения (15.1) записывается следующим образом:

^^(Cjcospx+Cjsinpx). (15.5)

d²y - dy dx² dx

43. Решить уравнение 7 —+ 10у = 0.

d²y ₅ dy dx² dx

О Составим характеристическое уравнение и найдем его корни: r²-7r+10 = 0; r_t = 2, г₂ = 5. Так как корни характеристического уравнения действительные и различные, то общее решение данного дифференциального уравнения согласно формуле (15.3) запишется так: у=С_хе^2х + С₂е^5х. #

43. Найти частное решение уравнения 5 —=0, если у= 1 и

О Составим характеристическое уравнение г² — 5г=0, откуда г₁ = 0, г₂ = 5. Так как корни характеристического уравнения действительные и различные, то общее решение дифференциального уравнения имеет вид

у = С₁е^{0 х}+С₂е^5х, т. е. у = С₁ + С₂е^5х.

Для нахождения искомого частного решения нужно определить значения постоянных С_х и С₂. Подставив в общее решение значения *=0, у= 1, получим \ = С₁ + С₂.

Продифференцировав общее решение и подставив в полученное выраже- dy dy

ние значения *=0, —= — 1, имеем —=5С₂е , —1 = 5С₂. Отсюда находим: dx dx

С₂= —1/5, Cj = 1 — С₂ = 6/5. Таким образом, искомое частное решение имеет вид у = 6/5-(l/5)e^Sx. Ф

d²y dy

43. Решить уравнение —г—8—I-16^ = 0.

dx dx

О Составим характеристическое уравнение и найдем его корни: г² — 8r+16 = 0; г₁ = г₂=4. Характеристическое уравнение имеет равные дейст­вительные корни; поэтому согласно формуле (15.4) общее решение данного дифференциального уравнения записывается в виде у = (С₁ + С₂х)е^4х. ф

43. Найти частное решение уравнения у" + 8у'+16^ = 0, если у= 1 и у'= 1 при * = 0.

О Так как характеристическое уравнение г² + 8г+16 = 0 имеет равные действительные корни г₁ = г₂= —4, то общее решение данного дифферен­циального уравнения записывается в виде

у = (Q + С₂х) е~^4х = С₁е~^4х+С₂хе~*^х.

Дифференцируя общее решение, имеем

/= — 4C_te ~^4х + С₂е ~^4х—4С₂хе ~ ^4х.

Подставив начальные данные в выражения для у и у\ получим систему уравнений

Г1=С>^о+С₂-0-е^о, fl=C_lt

{l = -4C₁e°+C₂e^o-4C₂ 0 e°, |l = -4C₁ + C₂,

откуда Cj = 1 и С₂ = 5. Следовательно, искомое частное решение имеет вид у=е~^4х+5хе~^4х. ф

43. Решить уравнение у" — 6у' + 25у = 0.

О Составим характеристическое уравнение и найдем его корни: г² — 6r+25 = 0; rj = 3 + 4/, r₂ = 3—4i; здесь а = 3, р=4. Так как характеристи­ческое уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня, то общее решение дифференциального уравнения согласно формуле (15.5) записы­вается в виде ^=e^3x(C₁cos4*+C₂sin4*). •

43. Найти частное решение уравнения у" — 6у'+13 = 0, если у= 1 и / = 5 при л:=0.

О Поскольку характеристическое уравнение г² —6г+13 = 0 имеет комп- лексно-сопряженные корни ^ = 3 + 2/ и г₂ = 3 — 2/, общее решение данного дифференциального уравнения записывается так:

Дифференцируя общее решение, имеем

у' = Зе^Зх (С_х cos 2х+ С₂ sin 2х)+е^Зх (—2С_Х sin 2х+2С₂ cos 2х)= = е ^Зх (3 cos 2х+3 С₂ sin 2х—2Q sin 2х+2С₂ cos 2х)=

= е^3х [(3 С, + 2С₂) cos 2х+(ЗС₂—2Q) sin 2л:]. Подставим теперь начальные данные в выражения для у и у':

Jl =e°(C₁cosO+C₂sinO), fl = С_±,

+ 2CV

|5=e°[(3C₁+2C₂)cos0+(3C₂-2C₁)sin0], ^ИЛ" {5 = ЗС!

откуда Cj = l и С₂ = 1. Таким образом, искомое частное решение имеет вид у=е^3х(cos2x+sin2x). ф

Решите уравнения:

5°. 1) 0+^-б^=О; 2) /'-8/ + 15j=0; 3) у'+ 5/+6=0.

51 1) ^-9^=0- 2) ^+3^=0- 3) ^-^=0 ^М‘ ^U dx² dx ¹ dx²⁺ dx ^U’ ³⁾ dx² dx ^a

1. ~z?2-6-jz+9y = 0; 2) y" + 2y'+y = 0; 3) /' + \0y' + 25y = 0.