19. Найти закон движения тела по оси Оу, если оно начало двигаться из точки М(0; 6) со скоростью v = 4t—6/².

20. Составить уравнение кривой, проходящей через точку М(2; — 1) и имеющей касательную с угловым коэффициентом к=\/(2у).

21. Составить уравнение кривой, проходящей через точку (1; 4), для которой отрезок касательной между точкой касания и осью абсцисс делится пополам в точке пересечения с осью Оу.

22. Температура воздуха равна 20°. Тело охлаждается за 40 мин от 80 до 30°. Какую температуру будет иметь тело через 30 мин после первоначального измерения?

23. Радий распадается со скоростью, пропорциональной началь­ному его количеству. Через сколько лет распадется половина начального его количества? Принять к=0,00044 (единица измерения времени—год).

24. Замедляющее действие трения на диск, вращающийся в жидкости, пропорционально угловой скорости. В какой момент времени скорость вращения диска окажется равной 2 рад/с, если при /=0 он вращается со скоростью 20 рад/с, а при /=8 с—со ско­ростью 16 рад/с?

§3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Уравнение вида

—+/(*Ь+ф(*)=о,

где /(х) и ф (х)—функции от х, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. В частном случае /(х) и ф(х) могут быть постоянными величинами.

Это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися перемен­ными с помощью подстановки y=uz, где и и z—новые функции от х.

dy 2у / v _%

Найти общее решение уравнения г=(*+1) .

dx х+1

О Это линейное уравнение: здесь f{x)=— 2/(х+1), <р(*)= — (х+1)³. Положим y=uz и продифференцируем это равенство по х:

dy dz du

dx dx dx

dy

Подставив теперь выражения для у и — в данное уравнение, получим

dx

dz du 2 uz . _v,

и —+z- -=(x+1) ,

dx dx x+1

или

dz (du 2u\ , ..

Так как одну из вспомогательных функций и или z можно выбрать произвольно, то в качестве и возьмем одно из частных решений уравнения du 2и

=0. Разделив в этом уравнении переменные и интегрируя, имеем

dx х+1

du 2dx Cdu Г dx , . . „_ч,

-=0, —=2 1пм=21п(х+1), w=(x+1)

и x+1 J и J x+1

(произвольную постоянную С принимаем равной нулю, так как находим одно рз частных решений).

Подставим теперь выражение для и в уравнение (*); тогда получим уравнение

(*+1)²^=(*+1)³, или ~г—х+1- ^y dx^K dx

1Ч¹

Отсюда находим

(x+\)dx; zJ°y +С.

Зная и и z, теперь получаем общее решение данного уравнения:

,.«.(х₊,).[Ь±!)!₊с].Ц!£₊с(,₊1)>. •

19. Найти частное решение уравнения cos xdy-\-у sin xdx — dx, если y= 1 при л: = 0.

ставив выражения для у и — в уравнение (*), имеем

dx

или

COS*

(**)

Для отыскания и получаем уравнение

du du

-—bwtg*=0, т. е. —btg*d*=0, dx и

откуда

“Jtgxdx; In u = In cos*; w = cos*. Подставляя выражение для и в уравнение (*), имеем

dz

dz

cosx—= , или —= г—, т. е. z=tg*+C.

dx cos* dx cos *

Следовательно, общее решение данного уравнения записывается так:

y = uz = cos * (tg *+С) = sin *+С cos *.

Используя начальные условия у= 1, *=0, имеем 1 = sin0 + Ceos 0, откуда С= 1. Таким образом, искомое частное решение имеет вид }> = sin*+cos*. ф

Найдите общие решения уравнений:

19. 1) ^-2j-3=0; 2) ^=у+1; 3) x^f-x² + 2y=0.

dx dx dx

19. 1) %+ху=х; 2) 3) %-усЦдг-йп*.

Найдите частные решения уравнений, удовлетворяющие указан­ным начальным условиям: