§2. Задачи на составление дифференциальных уравнений

15. Найти закон движения тела по оси Ох, если оно начало двигаться из точки М (4; 0) со скоростью v = 2t+3t².

О При прямолинейном движении скорость есть производная от пути по

_ _ dx

времени. Обозначив путь через х, имеем v=—; тогда

dt

dx

—=2t+3t², или dx=(2t+3t²)dt. dt

Проинтегрировав, получим x=t² + t³ + C. Используя начальные условия, найдем С. Так как х=4 при /=0, то, подставив эти значения в общее решение, находим С=4. Итак, закон движения тела имеет вид х= = t² + t³ + 4. ф

16. Составить уравнение кривой, проходящей через точку м (2; —3) и имеющей касательную с угловым коэффициентом 4jc—3.

О Согласно условию, имеем

—=4jc—3, или dy = (4х—3) dx. ах

Проинтегрировав, получим у=2х² — Зх+С. Используя начальные условия х=2 и у= — 3, находим С=— 5. Следовательно, искомое уравнение имеет вид у = 2х² — Зх—5. ф

17. Вода в открытом резервуаре сначала имела температуру 70°, через 10 мин температура воды стала 65°, температура окружающей резервуар среды 15°. Определить: температуру воды в резервуаре через 30 мин от начального момента; момент времени, когда температура воды в резервуаре станет равной 20°.

О Обозначим Т температуру воды в момент времени t. Скорость охлаждения воды есть скорость изменения функции, связывающей t и Т, т. е. dT

производная —.

dT

Величина — пропорциональна разности температур воды в резервуаре и dt

в окружающей его среде, т. е. к (Т—15°), где к—коэффициент пропор-

dT

циональности. Следовательно, —=к(Т—15°). Разделив переменные, имеем dT

№-h

——⁼ Проинтегрируем полученное уравнение:

\n(T-\5°)=kt+C, Т- 15⁰=е^к'^+с=е^к‘е^с=е^к,С_и

откуда

Т=С₁е^кг+15°. (*)

Это соотношение и выражает закон охлаждения воды.

Найдем величину Cj при начальных условиях Г=70° при /=0. Имеем

70=С₁е*‘°+15, или 55° = ^° = ^, т. е. С_{1 =} 55⁰.

Подставив найденное значение С_х в равенство (*), получим

T=55°e^ht+15°. (**)

Найдем величину к. По условию, Г= 65° при t =10 мин. Подставив эти значения в соотношение (**), получим

65° = 55V¹⁰+15°, или 50° = 55°е¹⁰*, или 10/11=£>^1О\ Прологарифмировав последнее равенство, имеем lg 10—lg 11 = 10/rlge,

откуда

, 1-lgll 1-1,0414 0,0414

‘-т4г*й1йй5--434Г--⁰’⁰⁰⁹⁵³²'

Подставив значение к в соотношение (**), получим закон охлаждения, связывающий переменные t и Т:

Т=55°е~°’^009532г+15°. (***)

Найдем температуру воды через 30 мин от начального момента. Для этого в уравнение (***) подставим значение / = 30:

Г=55^ое^-0,009532'³⁰+15°, или Г=55°е^_0’²⁸⁶ +15°.

Произведем вычисления:

*=55 • е -°’²⁸⁶, lg* = lg55 - 0,2861ge= 1,7404- 0,286 • 0,4343 = = 1,7404-0,1242= 1,6162, *=41,32*41; тогда Г=4Г + 15° = 56°.

Найдем, через сколько времени температура воды в резервуаре станет равной 20°. Подставив значение Г=20° в соотношение (***), получим

20° = 55°е~°’⁰⁰⁹⁵³²* +15°, иди 5^о = 55^о<?"°’⁰⁰⁹⁵³²‘,

откуда

_e-o,oo9532_t=1/11^_{00909> ши} _ од)09532* lg е=lg 0,0909 = 2,9586,

т. е.

2,9586 1,041

t— «251 мин=4 ч И мин. #

0,009532 • 0,4343 0,009532 • 0,4343 18. Вращающийся в жидкости диск замедляет свою угловую скорость за счет трения, причем сила трения пропорциональна угловой скорости. Найти: 1) скорость вращения диска в момент t =120 с, если при t=0 он вращался со скоростью 12 рад/с, а при г=10с его скорость стала 8 рад/с; 2) момент времени, когда скорость вращения диска окажется равной 1 рад/с.

О Пусть со—угловая скорость вращения диска в момент времени t,

d(o

тогда замедление вращения диска под воздействием силы трения равно —.

at

d(d

Согласно условию, —=/гсо, где к—коэффициент пропорциональности. dt

Разделив переменные и интегрируя, получим

rffi) _(J frffl) ,г , , ^

—=kdt, —=k\dt, Inю = А*+С,

® J © J

откуда (d = e^kt+c = e^kte^c₉ или

co=C₁e^fct. (*)

Найдем постоянную величину С_х при начальных условиях со =12 рад/с при / = 0. Подставив эти значения в равенство (*), имеем 12 = C₁e^fe'°, т. е.

12. = Cj. Таким образом,

(o=\2e^kt. (**)

Найдем числовое значение к по следующим данным: /=10 с и со=8 рад/с. Подставим эти значения в равенство (**): 8=12е*'¹⁰, откуда

е¹⁰* = 2/3, 10Л: lg е=lg 2—lg 3,

Ig2-lg3_ ljg 3—lg 2 0,4771 —0,3010

lg e- 10 lg e- 10 0,4343

Подставив значение к в равенство (**), получим

со= 12е~⁰’⁰⁴⁰⁵*. (***)

Найдем скорость вращения диска в момент времени /=120 с. Подставим в равенство (***) значение /=120:

со= 12е^-0’⁰⁴⁰⁵’¹²⁰= 12е^-4,9 = 0,09 (рад/с).

Определим, в какой момент времени диск будет вращаться со скоростью

1. рад/с. Подставив в соотношение (***) значение ю=1, имеем

50. = 12e"⁰⁰⁴⁰⁵'; _e-o.M05,₌_L_; —0,0405?lge=lg 1 —lg 12, lg 12

^г=о^кг^{61 (c)}- •