§5. Смешанные задачи

32. Выполните умножение: 1) (ау/Ь+Ыу/а)(—ау/Ь—Ыу/а);

2) (у/ф-iy/b/a)-(y/b/a+i у/а/Ь).

32. Разложите на множители: 1) 4.x:²+25; 2) а²+ 12; 3) _х/5+9;

у/2+у/з.

С* ГУ cz 1 \ 9т² + 4п² х+\ а + Ь

32. Сократите дроби: 1) — ——; 2) ———; 3)

Ът 2 in y/x+i y/a+iy/b

32. Выполните деление: 1) ⁺ 2) ⁿi\f™

y/b + iy/2 Пу/m+miy/n

32. Найдите модуль и аргумент комплексного числа j-.

33. Проверьте равенство >/^^+г\А_лА^+гЧ/^ ₌ ²(^{т п})

фп-iyfi yfa-iyfin ™+п

32. Найдите числовые значения многочленов: 1) jc¹⁵ + x¹⁴ + + 3л:¹² —xⁱ⁰+x⁷ при x = i\ 2) x³+;x:² + x+1 при x=\+i.

( 4 V ( [2 Л²

32. Выполните действия: 1) —-— ; 2) /-—I—) .

\л/з + // V ^{2 2}/

32. Возведением в квадрат докажите справедливость формул:

1. y/a + bi+ y/a—bi= y/2(yfa² + b² + a)\

2. y]a+bi— y/a—bi=iy/2(y/a² + b² — a).

32. Покажите, что если а = — 0,5 (1 -h / у/з), Ъ = 0,5 (— 1 + / у/з), то: 1) а^ъ = 1; 2) b³= 1; 3) а² = Ь; 4) 6² = а.

33. Докажите, что jc³+j³ — Зху = — 1, если х=—0,5 +1,5/ и у= —0,5 —1,5/.

34. Произведите указанные действия:

1 ~ч 1 1 1+/ 1— /

^!) (Гйр⁺(М^{1; }} (Т+/р⁺(Г^р ^} Т^/⁺Т+?

32. Выполните действия в тригонометрической и показательной формах:

1. 5 [cos (я/6) — /sin (я/6)] • [cos (я/4) + /sin (я/4)];

2. 8 [cos (я/3)+/sin (я/3)] : 4 [cos (я/12) +/sin (я/12)].

32. Вычислите с помощью формулы Муавра:

1) [cos(я/24)+/sin(я/24)]⁶; 2) [cos^/10)+/sin^/10)]¹⁰.

32. Докажите, что (coscp + Zsincp)^-1 =coscp — /sincp.

32. Вычислите: 1) $/i; 2) ^/l + i.

33. Решите двучленные уравнения: 1) х³—8=0; 2) 8л:³—27=0;

х³+125 = 0; 4) 27х³ + 1=0; 5) х¹+81=0; 6) х²-64=0.

32. Составьте квадратное уравнение с действительными коэффи­циентами ,_корнями которого служат числа: 1) / и —/; 2) 3 + / и 3 — /;

l-iy/5 и 1 + г\/5.

32. Решите биквадратное уравнение х⁴+х² + 1=0, выполнив извлечение корня в тригонометрической форме.

33. Решите уравнения:

1) х⁶—28x427=0; 2) (2л:+3)^б-9(2х+3)³+8=0.

ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА

1. вариант

1. Найдите модуль и аргумент 8 + 21

числа

5 + 2/ 2-5/"

4+3/

3-4/"

1. Выполните действия:

3-4/

2. Выполните действия:

5—4/

4+3/

3) Возведите в степень по фор­муле Муавра (— 1 + г^/з)⁹.

4+5/

3) Возведите в степень по фор­

(И¹)-

муле Муавра

3. Извлеките корень ^/8.

4. Решите уравнение дс⁴—2л:² + +4=0.

Глава 15 дифференциальные уравнения

§ 1. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х, искомую функцию у и ее производные или дифференциалы.

Символически дифференциальное уравнение записывается так:

F(x, у, /)=0, F(jc, у, у")=0, F(x, у, у', у", ..., /">)=0.

Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если искомая функция зависит от одного независимого переменного.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной (или дифференциала), входящей в данное уравнение.

Решением (или интегралом) дифференциального уравнения называется такая функция, которая обращает это уравнение в тождество. •

Общим решением (или общим интегралом) дифференциального уравне­ния называется такое решение, в которое входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения. Так, общее решение дифференциального уравнения первого порядка содержит одну произволь­ную постоянную.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных. Значения произвольных постоянных находятся при определен­ных начальных значениях аргумента и функции.

График частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Общему решению дифференциального уравнения соответствует сово­купность (семейство) всех интегральных кривых.

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, в которое входят производные (или дифференциалы) не выше первого порядка.

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными назы­вается уравнение вида

Для решения этого уравнения нужно сначала разделить переменные:

фМ

а затем проинтегрировать обе части полученного равенства:

x)dx.

1. Найти общее решение уравнения x(\+y²)dx=ydy.

О Разделив переменные, имеем

, ydy

xdx=-

\+у²

Интегрируем обе части полученного уравнения:

^у4уг, ^х4-Ыч-Л+'*с.

11+у 2 2 2

Так как произвольная постоянная С может принимать любые числовые значения, то для удобства дальнейших преобразований вместо С мы написали (1/2) In С. Потенцируя последнее равенство, получим

х² = 1п [С(\+у²)].

Это и есть общее решение данного уравнения, ф

2. Найти частное решение уравнения stgtdt + ds = 0, удовлетво­ряющее начальным условиям s=4 при t = n/3.

О Разделив переменные, имеем

ds l%tdt+ — = 0.

s

Проинтегрируем обе части полученного уравнения:

= 1п С; —In cosf+lns=lnC, или

In s=In C+In cos/, S—C cos /.

Это общее решение данного уравнения. Для нахождения значения произволь­ной постоянной С подставим значения /=я/3 и s=4 в выражение для общего решения: 4=Ccos(ii/3), или 4=С/2, откуда С=8.

Следовательно, искомое частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям, имеет вид 5 = 8 cos/, ф

Найдите общие решения уравнений:

3. 1) x²dx = 3y²dy\ 2) y/xdy = y/ydx; 3) —

3. (l+j;) </* = (*-l)<fy.

4. 1) х^Л: = (1+х²)^; 2) 2)dfy = 0.

5. 1) (x²—yx²)dy+fa² + xy²)dx=0; 2) x²dy—{2xy+3y)dx = $.

6. 1) (1 +j>²)</x— yfxdy = 0; 2) ^/l— x²dy—xy/\ — y²dx=0. Найдите частные решения уравнений, удовлетворяющие указан­ным начальным условиям:

7. 1) ydy — xdx; у = 4 при х=—2; 2)xdy=ydx; у —6 при х=2.

8. ds=(3t²—2t)dt; s=4 при t=2.

^ dy dx

9. -?=-?; ^=2 при x=0.

dydx

10. = ; y — 4 при x=0.

jc— 1 2

11. (1 +y)dx—(\ — x)dy\ y = 3 при x=—2.

12. — >>)л:ф> = 0; ^=1 при х=\.

13. y²dx = e^xdy; >>=1 при л: = 0.

dx

14. —^ =ctgjcsinydy; у = я при х = п/3.

cos² ^ cos ^