32. Извлечь корни из комплексных чисел 1) y/I; 2)

О 1) Представим число / в тригонометрической форме: /=0+1*1 = =cos (л/2) + / sin (я/2). По формуле (14.9) получим

г. / 7“^—. . _/ п/2 + 2кк . . к/2 + 2кк

z_k = y/^l = у/ cos (я/2) +1 sin (я/2)=cos h i sin =

=С08(я/4+я/:) + /8т(я/4+я/:), k=0, 1;

если k = 0, to z₀=cos (я/4) +/sin (я/4) = у/2/2+ (^/2/2)/;

если k= 1, to z! = cos (я/4+я)+/ sin (я/4+я) = — cos (я/4)—/ sin (я/4) = — у/2/2 —

-(n/2/2)*.

2. Представим число 1 в тригонометрической форме: 1 =cos0+/sin0. По формуле (14.9) находим

_г ! г— 0+2я£ 0+2я/г

z_k = y\ = ycos0+/sin0=cos— h/sin—-—=

=С08(2яА:/3) + /8т(2яА:/3), к=0, 1, 2; если к = 0, то z_o=cos0+/sin0= 1; если к = 1, то z j = cos (2я/3) + / sin (2я/3) = — 1 /2+(>/3/2) /; если к = 2, то z₂=cos (4я/3) + / sin (4я/3) = — 1 /2—(>/3/2) /.

32. Представьте в тригонометрической форме комплексные чис- ла: 1) Зг; 2) -1 + г; 3) 1-/^3; 4)^3-/; 5) ^/3/2—(1/2)г; 6) -3+4/.

33. Представьте в алгебраической форме числа: 1) 5 [cos (я/2) + + / sin (я/2) ]; 2) 4 [cos (—я/3) + / sin (—я/3) ]; 3) cos я + / sin я;

2 [cos (я/4) + / sin (я/4) ]; 5) 3 (cos 0 + / sin 0).

32. Найдите произведения:

1. 3 [cos (я/8) + / sin (я/8) ] • [cos (5я/24) + / sin (5я/24) ];

2. 2 [cos (я/3) + / sin (я/3) ] • 5 [cos (— я/4) + / sin (- я/4) ];

3. (cos5 + /sin5) (cos2 + /sin2);

4. [cos (2я/3) + / sin (2я/3) ] • [cos (—я/2) + / sin (—я/2) ];

5. 4 (cos 10° + / sin 10°) • 2 (cos 35° + / sin 35°);

6. [cos (5я/6) + / sin (5я/6) ] • [cos (2я/3) + / sin (2я/3) ].

32. Выполните умножение, используя тригонометрическую фор­му комплексного числа:

0⁺5')(-^⁺^) 2)<l+.V3)(-2-2₁V3);

2. (1+0(3 + 3/^3); 4) (6 + 2г\/3)( —3 —Зг);

2. (5 + 5/)(cos 15° + / sin 15°);

3. 3 [cos (—я/8)+г sin (—я/8) ] • (3+>/Зг)-

32. Выполните деление в тригонометрической форме:

1. 3 [cos (Зя/4) + i sin (Зя/4) ]: [cos (я/2) + i sin (я/2) ];

2. (cos210° +/sin210°):(cos 150° + /sin 150°);

3. [cos( — я/3) + шп(—я/3)]: [cos( — n/6) + ism( — я/6)];

4. (cos 150° + i sin 150°): [cos (-120°) + i sin (-120°) ].

32. Возведите в степень:

32. Вычислите: 1) (1 -0¹²+0 + 0¹²; ²) -)8 ■

33. Извлеките корни: 1) \J— 1; 2) 3) \fi; 4) i/4;

V-2+2/УЗ; 6) %Д.

§ 4. Показательная функция с комплексным показателем. Формулы эйлера

Степень e^z с комплексным показателем z=x+iy определяется ра­венством

(14.10)

(14.11)

которое называется формулой Эйлера.

Для комплексных показателей остаются в силе основные правила действий с показателями; например, при умножении чисел показатели складываются, при делении — вычитаются, при возведении в степень—пере­множаются.

Показательная функция имеет период, равный 2я/, т. е. e^z+2ni = e^z. В частности, при z=0 получается соотношение e²ⁿⁱ = l.

Тригонометрическую форму комплексного числа z=r (cos ср 4- / sin ср) можно заменить показательной формой:

(14.12)

r_leⁱ^'r₂e^Uf2 = r_l т₂е^,(ф1^+ф2 >;

(_r£,iq>y» _{= r}n_einq>;

Умножение, деление, возведение в целую положительную степень и извлечение корня целой положительной степени для комплексных чисел, заданных в показательной форме, выполняются по следующим формулам:

(14.13)

(14.14)

(14.15)

_ ф + 2яЛ.

"Jre*=iJr-e " ' (к=0, 1, 2,..., л-1). (14.16)

Формула Эйлера (14.11) устанавливает связь между тригонометричес­кими функциями и показательной функцией. Заменив в ней у на ф и на — ср, получим

е^ф1=cos ф + i sin ф, е ~^ф1=cos ф — i sin ф.

Складывая и вычитая эти равенства, получим

cos ф=(е^ф1 + е^-ф1)/2, (14.17)

sin ф = (е* - )/(2/). (14.18)

Эти две простые формулы, также называемые формулами Эйлера и выражающие тригонометрические функции через показательные, позволяют алгебраическим путем получить основные формулы тригонометрии.

32. Найти: 1) е'*^/4; 2) е*^е~"'²; 3) е^2+ы.

О По формуле (14.11) получим:

1. е^Ы1* - cos (те/4) + i sin (тг/4)=^2/2+ЦуД/2);

2. е^т “ _=e"[cos(-«/2)+i_Sm(^n/2))_=e-,i_=c0s(-_re) ₊ ,-sin(-Jt)= -1;

3. по формуле (14.10) получим e^2+I7t=e²(cosrc + /sin7i)= — е². ф

32. Найти: l)cos/; 2)cos(l— i).

О По формуле (14.17) получим:

. е¹ +е^-*² е~¹+е е² + \

,) с,,

cos(l —1)= = =-[e(cos 1 +/sin 1)+

+ e^-1 (cos(— l)H-/sin(— l)]=i[ecos 1 +e/sin 1 +e^_1cos 1 —

e² +1 e² — 1

—e^_1/sin l]=-[(e+e^_1 )cos 1 +i(e—e~^l )sin l]=—-—cos 1 +/ —— sin 1. ф

32. Показать, что для комплексного переменного z справедливы формулы: 1) sin²z+cos²z = 1; 2) sin 2z = 2 sin z cos z; 3) cos 2z = = cos²z—sin²z.

О 1) Возведя обе части равенств (14.17) и (14.18) в квадрат и затем почленно складывая их, получим

, (e^zi + e~^zi)² (e^zi-e-^zi)² e^2zi+ 2+e~^2zi-e^2zi+ 2-e~^2zi

cos z+sin z=- —-—h- ⁼ =1.

—4 4

2. Перемножив левые и правые части равенств (14.17) и (14.18), получим

e^zi+_e~^zi e^zi—e~^zi e^2zi-e~^2zi

2sinzcosz=2 • = =sin2z.

1. 21 2 i

2. Возведя обе части равенств (14.17) и (14.18) в квадрат и почленно их вычитая, получим

2. . ₂ (e^zi+e~^zi)² le^zi-e-^zi)²

32. Представить в показательной форме числа: l)z=2i;

2. z— — 1 + i.

О 1) Здесь я =О, 6=2, г=2, ф = те/2. По формуле (14.12) получим z=2e^inl2.

Здесь а= — 1, b= 1, r= 2, tgф = — 1, ф = Зя/4. По формуле (14.12) имеем z= _s/2e^3nil4‘. ф

32. Представив числа z₁ = l-\-i и z₂ = \ — iyjb в показательной форме, вычислить: 1) z_xz₂; 2) zi/z₂; 3) zf; 4) ^/z^.

О Для числа z₁ = lH-i имеем: а= 1, 6=1, г= 2, ф = я/4, т. е. Zj = = *j2e^im. Для числа z₂ = l — />/3 имеем: д= 1, 6= —>/3, г=2, ф= — тг/З, т. е. z₂ = 2е^-1я/3.

1. По формуле (14.13) находим ZjZ₂= _у/2е^1п14' •2е^_,я/3 = 2_л/2е“^1я/12.

2. По формуле (14.14) получим

²1 _\/^{2е Я/} m/4-(-fa/3)_V^ 7яЁ/12

z₂ 2е-^£я'³ 2 2

3. По формуле (14.15) имеем zf=(_Л/2е^1я/4)⁶ = 8е^13я/2.

4. По формуле (14.16) находим

_Zfc= 4/^₌уу2<>^/4= 8/2e^(n/4+lnk)il4, к=О, 1, 2, 3; если fc=0, то z₀= */2е^ы/16; если fc=l, то z₁₌= 8/2е^{(я/4+2я)1/4}= фе^ш,16\ если fc=2, то z₂= в/2_е^{(я/4+4я){/4}= 0.e^llai/16= */2e~^15ni/16; если fc=3, то z₃=*/2e^inl*+⁶*^yil*= *fie²⁵*^i/16= 0.е~™¹¹⁶. ф

32. Найдите: 1) е¹; 2) е*^я; 3) e^{1 + i}; 4) е*^я/2; 5) е*^я/3; 6) е⁴⁺³‘; 7) е²"‘; 8) е^3|“².

33. Найдите: 1) sin/; 2) cos(l+/); 3) sin (1 — /).

34. Покажите, что для комплексного переменного z справедливы равенства: cos(—z) = cosz; sin(—z)= — sinz;

. . - . „ • • о 1—cos2z о l+cos2z

sin3z=3sinz —4sin^Jz; sin^z= ; cos^z= .

2. 2

32. Представьте в показательной форме числа: 1) 1; 2) у/3 + i;

2. 3 + 1^3; 4) -72+1^6.

32. Представив числа z_t = у/з + i и z₂ = y/l+iy/2 в показатель­ной форме, вычислите: 1) z_tz₂; 2) zjz^, 3) z\\ 4) 5) f[z₂.