27. Представить в тригонометрической форме следующие числа:

2; 2)6i; 3) -2 + 2^3/; 4) 2—2*; 5) -у/3-i.

О 1) Здесь а = 2, Ь=О, г=2. Так как вектор, изображающий число 2, лежит на положительной полуоси Ох, то главное значение аргумента ф = 0; следовательно,

2. = 2 (cos 0 + / sin 0)

или

1. = 2 (cos 2кк+/ sin Ink), k^Z.

1. Здесь a = 0, b = 6, r=6. Поскольку вектор, изображающий число 6/, лежит на положительной полуоси Оу, главное значение аргумента ф = я/2; поэтому

6/=6 [cos (я/2) + / sin (7i/2) ]

или

6/=6 [cos (n/2+2пк) + / sin (n/2+2я£) ], к е Z.

2. Здесь а =—2, Ь = 2у/3, г=4. Точка, изображающая число z, лежит во

2. четверти; tg ф = 2^/3/( — 2)= — _>/3, ф = 2я/3. Значит,

—2+2_ч/3/=4 [cos (2я/3) + / sin (2я/3) ]

или

— 2 + 2^/3/=4 [cos(2я/3+2я£) + /sin(2я/3 + 2пк)], fceZ.

3. Здесь а = 2, Ь= —2, г=2^/2. Точка, изображающая число z, лежит в IV четверти; tg ср = — 1, ф = — я/4. Поэтому

2—2i=2^/2 [cos (—я/4) + / sin (—я/4) ]

или

2. 2i=2y/2 [cos(—K/4+2nk) + ism(—n/4+2nk)], bZ.

4. Здесь а=—у/3, b= — 1, г=2. Точка изображающая число z, лежит в

2. четверти; tgф = l/^/з, ф=—5я/6, тогда

• у/b — /=2 [cos (—5я/6) +1 sin (—5я/6) ]

или

—у/b — i=2 [cos(—5rc/6+2rc£) + /sin(—5п/6+2пк)], k<=Z. ф

27. Представить в алгебраической форме числа:

1. z = 2 (cos 2и + / sin 2тс); 2) z = ^/2 [cos (Зтс/4)+/ sin (Зтс/4) ].

О 1) Подставив значения соз2я=1, 8т2я = 0 в данное равенство, получим z = 2 (1Ч- / * 0) = 2.

2. Имеем

z_=v/2 [cos(Зя/4) + isin(Зя/4)] = Jl [-_v^/2/2+i(_v^/2/2)]= -1 + ». • 31. Найти произведение

2. [cos (тс/6) + / sin (тс/6) ]• 3 [cos (тс/12) +/sin (тс/12)].

О По формуле (14.6) получим

2. [cos (71/6) + / sin (тс/6) ] • 3 [cos (я/12) + / sin (те/12) ] = 2 * 3 [cos (я/6+я/12) +

+ / sin (я/6 + я/12)] = 6 [cos (я/4) + / sin (я/4) ] = 6 [(>/2/2) + / (^2/2) ] =

= 3_n/2+3i7'2. •

32. Выполнить деление: 10 [cos (Зя/4) +/sin (3/я/4)]:2 [cos (я/4) + /sin (я/4)].

О По формуле (14.7) находим

9. [cos (Зя/4) + / sin (Зя/4) ]: 2 [cos (я/4) + / sin (я/4) ] =

= (10/2) [cos (Зя/4—я/4) + / sin (Зя/4—я/4) ] = 5 [cos (я/2) + / sin (я/2) ] =

= 5(0 + /) = 5/. •

32. Возвести в степень: 1) [cos (я/6)+ /sin (я/6) ]⁶; 2) [3/2 — -(УЗ/2)/]¹⁰.

О 1) По формуле Муавра получим [cos (я/6) + / sin (я/6) ]⁶ = cos [6 • (я/6) ] + / sin [6 • (я/6) ]=cos я + / sin я =

= -1+/0=-1.

2. Представим данное число в тригонометрической форме. Здесь я = 3/2, Ь=— -Уз/2, т. е. г=^/(3/2)² + (—_>/з/2)² = _>/з. Точка, изображающая данное число, лежит в IV четверти, поэтому tgcp = (—_N/3/2):(3/2) = — >/3/3, т. е. ср = — я/6. Итак,

3/2—(д/3/2) /=>/3 [cos (- я/6)+/ sin (—я/6)].

Следовательно,

{>/3 [cos (—я/6)+/ sin (—я/6)] }¹⁰ = 3⁵ [cos (— 10 • я/6)+/ sin (— 10 • я/6)] =

= 3⁵ [cos (5я/3)—/ sin (5я/3)] = 3⁵ [cos (5я/3 — 2я)—/ sin (5я/3—2я)] =

= 243 [cos(я/3)+ /sin (я/3)] = 243 [1/2+/(^/3/2)]= 121,5(1 +/,/3). #

32. Применяя формулу Муавра, доказать справедливость сле­дующих тождеств: cos 2ф = cos² ф — sin² ф; sin 2ф = 2 sin ф cos ф; cos Зф = 4 соз³ф — 3 cos ф; sin Зф = 3 sin ф — 4 зт³ф.

О Полагая в соотношении (14.8) г— 1 и п — 2, получим

(cos ф + / sin ф)² = cos 2ф + / sin 2ф,

или

cos² ф + 2/ cos ф sin ф — sin² ф=cos 2ф + / sin 2ф.

Из условия равенства двух комплексных чисел следует, что cos 2ф = cos² ф — sin² ф; sin 2ф = 2 sin ф cos ф.

Аналогично, полагая в соотношении (14.8) r= 1 и п = 3, имеем (cos ф + / sin ф)³=cos Зф + / sin Зф,

т. е.

cos³ ф + 3/ со8²ф sin ф — 3 вт²ф cos ф — / sin³ ф=cos Зф+/ sin Зф.

Из условия равенства двух комплексных чисел следует: cos Зф = cos³ф — 3 sin²ф cos ф = cos³ ф — 3(1 — cos²ф) cos ф = 4 cos³ ф — 3 cos ф; sin Зф = 3 cos² ф sin ф — sin³ф = 3 (1 — 8Ш²ф) sin ф—sin³ф = 3 8Шф—4 sin³ф. #