/⁴* = 1, /⁴*⁺¹ = /, /⁴*⁺² =

= —1, /⁴*⁺³= — где &<=Z.

О Так как i²— — 1, то /³ = /²/= — i, г⁴ = /² • г² = (— 1)(— 1) = 1, i⁵ = i*-i=i, /⁶= —1, /⁷ = — /, /⁸=1,.... Следовательно, получаем четыре чередующихся значения: /⁴* = 1, /^4fc+1 = /, /^4fc+2= —1, /⁴*⁺³=—/, feeZ. ф

19. Вычислить: 1) /¹⁶; 2) г²⁵; 3) г¹⁵; 4) (—/)⁸; 5) (—г)⁷-

О 1) /¹⁶ = /^{4 4}=1; 2) /²⁵ = /⁴'⁶⁺¹ = /; 3)/¹⁵ = /⁴‘^{3 + 3} = г³=-/; 4) (—/)⁸ = = /⁸ = /⁴*² = 1; 5) ( —/;⁷= —j⁷- ^/⁴⁺³ ₌ __г-з_{= #}

19. Выполнить действия: 1)2г*3г; 2) (2 — 3/)(2ч-3/); 3) (5—4г)х х (34-2/).

О 1) 2/ * 3/ = 6/² = —6;

2. (2 —3/)(2 + 3/)=4—9/²==4+9= 13;

3. По правилу умножения комплексных чисел получим (5—40(3 4-20 = [5 *3—(—4) -2] 4-/[5 ■ 24-3 (—4)] = 23—2/.

16. Найдите все значения аргумента комплексных чисел: 1) z= = — 1 + г; 2) z=y/3—i.

§ 2. Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме

Над комплексными числами производятся такие же действия, как и над действительными числами. Действия сложения и умножения даны в определении комплексного числа (см. § 1).

Рассматривая вычитание и деление комплексных чисел как действия, обратные соответственно сложению и умножению, получаем правила вычитания и деления комплексных чисел:

(a_l+b_li)-(a₂+b₂i)=(a_i-a₂)+(b₁-b₂)i;

Cli #2 “Ь ^1^2 —^1^2-

a₂+b₂i в₂-\-Ь₂

17. Выполнить действия: 1) (44-20 + 0 + 5/); 2) (3 + 50 —(6 + 30-

О 1) По правилу сложения комплексных чисел получим (4+2/) + (1 4- 5/) = (4+1)+(2+5)| = 5 + 7/.

2) По правилу вычитания комплексных чисел получим (3 4- 5/)—(6 4- 3 /) = (3 ~ 6) + (5 — 3) / = — 3 + 2/.

Сложение (вычитание) комп­лексных чисел сводится к сложе­нию (вычитанию) векторов, изо­бражающих эти числа. Действия над заданными векторами ил­люстрируются геометрически на рис. 95, а, б. ф

17. Показать, что спра­ведливы равенства

Рис. 95

S)

0)

Можно произвести умножение по правилу умножения многочленов: (5—4/)(3 + 2/) = 15 +10/-12/+8 = 23 - 2/. *

^ ~ 2 1 __ч 1+1 .. 2 — 3/

Выполнить действия: 1) —; 2) ; 3) -—; 4) -——.

6. 3/ 1 + 1 1-/ 4+5/

2. 2/ 2/ 2

О 1) Умножив делимое и делитель на /, получим —= =—-=—-/.

3/ 3/-/ —3 3

2. Умножаем делимое и делитель на множитель, сопряженный дели­телю:

1. 1-/ 1-/ 1-/11

1+/ (1+/)(1 —/) I-/² 2 2 2' 1 + /_(1 + /)(1+/)_1+2/+/²_2/_.

⁾ Т^/⁼(1-0(1+»)~ I-/² “I^-'^-

2—3/'_(2—3/)(4—5/)_8—10/'— 12/+15/² — 7—22/ 7 22.

' 4+5/ (4-ь5/)(4—5/) 16+25 " 41 ^__41 41*

21. Вычислить (1 + /)⁸.

О Используя соотношение (1+/)²=2/, получим (1 + /)⁸ = [(1 + 0²]⁴⁼ =(2/)⁴= 16/⁴= 16. •

21. Выполните действия: 1) (3 + /)+(—3 — 8/); 2) (5—4/)+(7+4/); 3) (—6+2/)+(—6—2г);

2. (0,2+0,1 г)+(0,8—1,10; 5) (2 — Зг)+(5+6/)+(—3 —4/); 6) (1 - г) - (7 - Зг) - (2+0+(6 - 20- 24. Вычислите: 1) г^й + г²⁰ + г³⁰ + г³⁶ + г⁵⁴; 2) /+/² + /³ + г⁴+г⁵;

г’+г¹¹ + г²¹+ /³¹+ /⁴¹; 4) гг²-/³-/⁴; 5) ^+р5 6)р + р+р.

25. Выполните действия: 1) — ц/5-4/,/5; 2)(5 —Зг)-2г;

(3+40(3-4/); 4) (5+3/)(2-5г); 5> (—2—/)(1 + /);

2. 4+2/+(-1+60(6-/); 7)(3—2/)(5+4/)—7/+1; 8) 9) (0,2-0,30(0,5+0,4/). 26. Выполните действия: 1) 2) —3) -J—-; 4) ~

1. 1—/ 1 + г 1+3/

(1-20(2+/). „ 2+3/ . (3 + 20(2-0. _ю a+bi ^} 3-2/ ’ ’ (4+0(2-2/)’ ''(2+30(1 + 0’ a-bi'

(a+bi)(b + ai)' _1ЛЧ у/5 + /. _11Ч 1-3/. 4/+1. _<Лча+6/ a-fei

b—ai ' ^/5—2i 2 3/—1’ a—bi a+bi

27. Разложите на комплексные множители: 1)т²+п²; 2)4т² +

+9и²; 3)^-+^-; 4) т+п; 5) 2+^/3; 6) 1+sin²а; 7)3.

9. 16

27. Вычислите: 1)(1-/)¹²; 2) (1 + /)¹⁷; 3) ^» ⁴) (^~⁺ Щ; 5) (1+г)'²; 6) (1 —г)^-3; \

⁺ 2

§ 3. Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме

1. Тригонометрическая форма комплексного числа. Пусть r=\a+bi\ = = у/а² + Ь² — модуль, а ф—одно из значений аргумента комплексного числа a+ bi. Так как из соотношений (14.3) вытекает, что а=г совф, b=г sin ф, то

а-|- bi=г (cos ф + / sin ф). (14.5)

Таким образом, любое комплексное число а+Ыф 0 можно записать по формуле (14.5), где г—модуль, а ф — одно из значений аргумента этого числа.

Верно и обратное утверждение: если комплексное число a+bi представ­лено в виде (14.5), где г>0, то r=\a+bi\, ф = а^(а+6/).

Представление комплексного числа в виде z = г (cos ф Н- / sin ф),

где г> 0, называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Для представления комплексного числа z = a+bi в тригонометрической форме необходимо найти: 1) модуль этого числа; 2) одно из значений аргумента этого числа. В силу многозначности argz тригонометрическая форма комплексного числа также неоднозначна.

2. Действия над комплексными числами, заданными в тригонометриче­ской форме. Произведение комплексных чисел z₁=r₁(cos9₁ + /sin9₁) и z₂ = r₂ (cos ф₂ + / sin ф₂) находится по формуле

v! (cos ф_х + /sin ф!) • г₂ (cos ф₂ + isin ф₂) = г_xr₂ [cos (Ф1 + ф₂ ) +1 sin (Ф1 + ф₂ ) ],

(14.6)

т. е.

ki z₂1 = гi ■ г₂ = |z, I • |z₂1, arg (ziz₂)=<p j+<p₂.

Таким образом, при умножении двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Частное комплексных чисел = (со8ф! +/sin9₁) и z₂ = r₂(со8ф₂ + + /sтф₂) находится по формуле

^(совф^/втф!) г_1г ..

— г⁼ [cos (ф! ф₂ )“Ь f sin (ф_г ф₂)], (14.7)

Г2 (cos ф₂ +1 Sin ф₂ ) Г2

т. е.

ri I Zj| Zi

=-=Г1’ аг_§-=_ф1-ф₂. г₂ |z₂| z₂

Таким образом, при делении комплексных чисел, заданных в тригономет­рической форме, их модули делятся, а аргументы вычитаются.

Для возведения комплексного числа г(со8ф + /8Шф) в п-ю степень используется формула

[г(с08ф + ШПф)]" = г"(с08Иф + ШПЖр), Л€= Z, (14.8)

которая называется формулой Муавра.

Для извлечения корня п-й степени из комплексного числа г (cos ф 4-г sin ф) используется формула

7 г( Ф + 271А: .. ф + 2лА:\

z^ = y (cos ф + f sin ф)=т I cos Ь i sin 1, (14.9)

где \fr—арифметический корень, k = 0, 1, 2,1.