Глава 14 комплексные числа

§ 1. Комплексные числа и их геометрическая интерпретация

Комплексными числами называются числа вида a+bi₉ где а и b—дейст­вительные числа, а число /, определяемое равенством i'²= — 1, называется мнимой единицей, если для этих чисел понятия равенства и действия сложения и умножения определены следующим образом:

1. два комплексных числа a^ + bj и a₂+b₂i называются равными, если

а₁=а₂ ^и ^i ⁼ ^2j

2. суммой двух комплексных чисел a_l+b₁i и a₂+b₂i называется комплексное число (tfi + tf₂)+(&i + &₂)*;

3. произведением двух комплексных чисел a_l+b_li и a₂+b₂i называется комплексное число (a₁a₂—b₁b₂) + (a₁b₂ + a₂b₁)i.

Запись комплексного числа в виде z = a+bi называется алгебраической формой записи комплексного числа.

Действительное число а называется действительной частью комплексно­го числа z=a+bi, а действительное число b—мнимой частью.

Любое действительное число а содержится в множестве комплексных чисел, его можно записать так: a=a+0i. Числа 0, 1 и / записываются соответственно в виде 0=0 + 0 /, 1 = 1+0 / и /=0+1/.

При я = 0 комплексное число a+bi обращается в чисто мнимое число bi.

Комплексное число а—bi называется комплексно сопряженным с числом а+bi и обозначается z, т. е. z=a+bi =а—bi.

Комплексные числа вида а+Ы и —a—bi называются противополож­ными.

Модулем комплексного числа z=a+bi называется число у/а²+Ь²:

(14.1)

Модуль комплексного числа всегда есть действительное неотрицатель­ное число: |z|^ 0, причем |z| = 0 тогда и только тогда, когда z=0.

Комплексное число z=a+bi можно изображать точкой плоскости с координатами (а; Ь) (рис. 90). При этом действительные числа изображаются точками оси абсцисс, которую называют действительной осью, а чисто мнимые числа—точками оси ординат, которую называют мнимой осью.

Каждой точке плоскости с координатами (а; Ь) соответствует один и только один вектор с началом в точке 0(0; 0) и концом в точке М(а; Ь). Поэтому комплексное число a+bi можно изобразить в виде вектора OM=z с началом в точке z=0 и концом в точке z=a+bi.

Из геометрической интерпретации комплексного числа вытекают сле­дующие свойства.

1°. Длина вектора z равна \z\.

2°. Точки z=a+bi и z=a—bi симметричны относительно действитель­ной оси.

3°. Точки z и —z симметричны относительно точки z=0.

4°. Число zj+z₂ геометрически изображается как вектор, построенный по правилу сложения векторов, соответствующих точкам z_x и z₂ (рис. 91).

5°. Расстояние между точками Zj и z₂ равно \z_l—z₂\ (рис. 92).

Угол ф между действительной осью Ох и вектором ОМ, отсчитывае­мый от положительного направления действительной оси, называется

аргументом комплексного числа z=0 (см. рис. 90). Если отсчет ведется против движения м₃(о;з)\

М,(2'А)

часовой стрелки, то величина угла считается положительной, а если по движению часовой стрелки,—отрицательной. М₂ (~3’,0)

X

м_ч(о;-2)

Рис. 93

Аргумент ср комплексного числа z=a+bi * _п записывается так:

q> = argz или cp = arg (a+bi). (14.2)

Для числа z = 0 аргумент не определен.

Аргумент комплексного числа определяется неоднозначно; любое комплексное число z^O имеет бесконечное множество аргументов, отличающихся друг от друга на число, кратное 2к. Наименьшее по абсолютной величине значение аргумента из промежутка — Жф^я называется главным значением аргумента.

Из определения тригонометрических функций следует, что если ф = = агg(a+bi)₉ то имеют место равенства

cos ф = а/у/а² + Ь² = а/г, sin ф = Ь/у/а²+b² — Ь/г. (14.3)

Справедливо и обратное утверждение, т. е. если выполняются оба равенства (14.3), то ф = аг % (a+bi). Таким образом, все значения аргумента ф можно находить, решая совместно уравнения (14.3).

Значения аргумента комплексного числа г=а+ЫФ 0 можно находить и так:

1. определить, в какой четверти находится точка z = a+bi (использовать геометрическую интерпретацию числа z=a+bi);

2. найти в этой четверти угол ф, решив одно из уравнений (14.3) или уравнение

tg<p = Ь/а; (14.4)

3. найти все значения аргумента числа z по формуле

argz=ф + 2яA:, fceZ.

1. Построить радиусы-векторы, соответствующие комплексным числам: l)z = 2; 2)z=—3; 3) z = 3i; 4)z=—2i; 5)z = 2 + 3/.

О 1) M_x (2; 0); 2) M₂ (-3; 0); 3) М_ъ (0; 3); 4) М_А{0; -2); 5) М₅ (2; 3) (рис. 93). •

2. Найти действительные числа х и у из условия равенства двух комплексных чисел: —2 + 5ix—3iy = 9i+2х—4у.

О Выделим в обеих частях равенства действительные и мнимые части данных комплексных чисел:

• 2 + (5x—3y)i=2x—4y+9i.

Теперь, используя равенство комплексных чисел, составим систему

(2х—4у= —2,

(5х-3у=9, решив которую получим х=3, у=2. ф

3. Найти модуль и главное значение аргумента комплексных чисел: l)z=i; 2)z=— 5i; 3)z=l-W; 4)z=2 — 2i.

О 1) Здесь g=0, 6=1. По формуле (14.1) получим г=у/О² -Ь1² = 1; ф = я/2, так как вектор, изображающий данное число, лежит на положи­тельной полуоси Оу.

2. 

   4) Здесь а=2, Ь= —

   Здесьа=0,Ь=—5;находимг=_х/о² + (—5)² = 5; Ф=—к/2, так как вектор, изображающий данное число, лежит на отрицательной полуоси Оу.

3. Здесь а=1, 6=1 (точка, изображающая данное число, лежит в I четверти); r=_x/l² +1²=^/2; tg (р = b/a = 1; ф = я/4.

2. (IV четверть); г=_Л/2² -|-(—2)² = 2^/2; tg ф = Z?/<ar =

4. Найти все значения аргумента комплексных чисел: 1) z= — 4;

z=\—i.

О 1) Здесь а=— 4, 6=0; находим arg(—4) = п+2пк, к^Ъ.

2) Здесь я=1, 6= — 1; находим arg(l — /) = — я/4+2тс/:, fceZ. #

5. Постройте радиусы-векторы, соответствующие комплексным числам: l)z = 2 —3/; 2)z=—2 + 3/; 3) z = —2 — 3/; 4) z = _v/2 + _>/3/;

S)z=2-jbl

6. Даьп>1 числа: l)z=3 + /; 2)z = 3 —/; 3)z=—3 + /; 4)z=— 3 — /;

3; 6) —3; 7) —/; 8) /. Назовите числа, сопряженные и противопо­ложные данным.

7. На координатной плоскости дан круг с центром в начале координат и радиусом, равным 1 (рис. 94). Какие числа соответст­вуют точками А_и А₂, А₃, А₄, А₅, А₆, лежащим в вершинах правильного шестиугольника, вписанного в этот круг?

8. Дана точка, изображающая число —3 + 2/. Какие числа изображают точки, симметричные данной относительно: 1) действи­тельной оси; 2) мнимой оси; 3) начала координат?

9. Найдите действительные числа х и у из условия равенства двух комплексных чисел: 1) 9 + 2/л; + 4iy = 10/+ 5х—6у; 2) 2ix + 3iy+ + 17 = Зх+2у +18/; 3) 5л: — 2у + (х+у) /=4+5/.

10. Пользуясь условием равенства двух комплексных чисел, най­дите х и у из соотношений: 1) х² — 5(л;— l)+4i=yi— 1; 2)—4yi=4.

И. Найдите действительные значения лс, при которых справедли­во равенство (х²+ 1)/+3 = х(л:—2/) — 2х.

12. Найдите модуль и главное значение аргумента комплексных чисел: l)z=3; 2)z=—3; 3)z = 3/; 4)z=—3/; 5) z = — 2 — 2/; 6)z = = 1+ц/3; 7)z=l—ц/З; 8)z=-_N/3 + /.

13. Чему равен аргумент: 1) чисто мнимого числа; 2) любого отрицательного числа; 3) любого положительного числа; 4) нуля?

14. Аргумент комплексного числа a+bi равен ф. Чему равен аргумент числа a—bV.

15. Найдите множество точек координатной плоскости: 1) мо­дуль которых равен 2; 2) аргумент которых равен Зтс/4.