§ 9. Смешанные задачи

48. Найдите относительную погрешность равенства 13/27» 1/2.

49. Число 8,75 найдено с относительной погрешностью 0,4%. Определите границу абсолютной погрешности.

50. Найдите относительную погрешность вычисления площади прямоугольника со сторонами 3,86 + 0,005 и 4,6 + 0,05.

51. Найдите относительную погрешность вычисления объема прямоугольного параллелепипеда с измерениями а=4,48 ± 0,005, 6 = 5,8+0,05 и h = 6,72 ±0,005.

52. При вычислении объема цилиндра по формуле V=kR²H было дано: я = 3,14, R = 36,7 (см) и #=86,4 (см) (все цифры верные). Сколько верных значащих цифр содержится в ответе?

53. Вычислите диагональ с прямоугольника, стороны которого а = 6,24 ±0,005 (см) и 6=4,8 ±0,05 (см). Сколько верных значащих цифр содержится в ответе?

54. С какой точностью надо измерить радиус круга, чтобы абсолютная погрешность площади круга не превышала 10 см²? Грубое приближенное значение R = 8,7 см.

ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА

вариант II вариант

1. Вычислите сумму a=yj3+ 1) Вычислите разность я= +>/7, взяв приближенные значения >/lT—y/l с четырьмя значащими корней с точностью до 0,001; най- цифрами; найдите е_а.

дате 8_в. 2) Вычислите площадь прямо-

Вычислите площадь парал- угольника, если а=78,6 и Л=48,7. лелограмма, если а=68,7 и h=52,6. Укажите верные цифры ответа. Укажите верные цифры ответа. 3) Вычислите Х—(а + Ь)/с₉ если

2. Найдите границу абсолютной я = 82,6, Ь—93,8 и с=61,9. Укажите погрешности произведения двух границу абсолютной погрешности, приближенных значений чисел а— 4) Вычислите относительную = 7,36±0,004 и 6 = 8,61 ±0,005. погрешность \J68,4.

3. Вычислите относительную 5) С какой точностью надо из- погрешность >/38,9. мерить сторону квадрата, чтобы от-

С какой точностью надо из- носительная погрешность площади мерить радиус круга, чтобы отно- квадрата не превышала 1%? При- сительная погрешность площади ближенное значение стороны квад- круга не превышала 0,5%? Грубое рата я = 9 м.

приближенное значение Л = 8 м.

РАЗДЕЛ П

АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА

Глава 3 системы уравнений и неравенств

§ 1. Решение линейных уравнений с одной переменной

В математике любое предложение, относительно которого можно сказать, является ли оно истинным или ложным, называется высказыванием.

Если из высказывания А следует высказывание Я, то пишут А =>В (из А следует В).

Если из высказывания А следует высказывание В, а из высказывания В следует высказывание А, то эти высказывания называют равносильными и пишут АоВ.

Равенство с одной переменной называется уравнением с одной перемен­ной, если нужно найти те значения переменной, при которых получается истинное высказывание (верное числовое равенство).

Корнем (или решением) уравнения называется значение переменной, при подстановке которого в уравнение получается истинное высказывание (верное числовое равенство).

Уравнения называются равносильными, если множества их решений равны.

Линейным уравнением с одной переменной х называется уравнение вида ах+Ь = 0, где а и b—действительные числа.

Решение линейных уравнений и уравнений, сводящихся к линейным, основано на следующих двух теоремах:

1. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получится уравнение, равносильное данному.

2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится уравнение, равносильное данному.

1. 

   1) ^Х- Х+

   =2;

   

   Ответ: —1,5.

   О 1) I способ.

   И-°НЬ-~СН*⁼~КН⁼■^и-

   2. способ. Умножив обе части уравнения на 8, получим

   Решить уравнения:

1. Умножив обе части уравнения на 15, получим

(90 - 30л: - 5 (2 - 5л:) = 3 (6л: - 4)о(90 - 30л: -10+25л: = 18л; -12)о о(—30л:Н-25л:— 18л: = —12 — 90+ 10)о(—23л: = — 92)ол: = 4. Ответ: 4.

2. Это дробное рациональное уравнение, содержащее переменную в знаменателе дроби. Знаменатель каждой из дробей не равен нулю (на нуль делить нельзя). Выполнив преобразования, получим

2л:-9 Зл: _ С (2л:—9)(2 — Зл:)—3jc (2л:—5)—2 (2jc — 5)(2 — Злг)

= 0,

= 2,

2л: —5 2 —Зл: ^ 2л:—5 #0,

2—3x^0

2л:—5^0, 2-3*^0

(2л:—5)(2 —Зл:)

{8л:+2 = 0,

2л:—5#0, х= —0,25.

2—3*5*0,

При х=— 0,25 высказывания 2(—0,25) —5^0 и 2 — 3(—0,25)^0 истинны; следовательно, х = —0,25 является корнем данного уравнения. Ответ: —0,25.

3. Имеем

~ ^{x+l х}~²

х—Ъ л:+3 (л:—3)(л:+3) х—3т*0, о

л: + 3#0.

(х+ 1)(л + 3)-(л:-2)(л:-3)-3 (Зл:— 1)

0 -л:

0,

= 0,

(х-3)(х+3)

(л:-3)(* + 3) х—3^0, х+Ъф0.

х—3#0, л:+3^0

Уравнение имеет бесконечное множество корней: корнем служит любое действительное число, кроме х= — 3 и л:=3.

2л:+1 — 5 + 4л:—6л: + 18

14

2л:+ 1

х—Ъ х-ЪфЪ.

х—Ъ х—3=7*0.

5)

-3^0

⁵~^4х , _л г—6=0,

х-3 <»<

Ни при одном значении переменной х дробь не обращается в нуль. Уравнение корней не имеет, ф

2. Сплав олова и меди массой 32 кг содержит 55% олова. Сколько чистого олова надо добавить в сплав, чтобы в новом сплаве содержалось 60% олова?

О Пусть масса олова, добавленная к исходному сплаву, составляет х кг. Тогда сплав массой (32 + х) кг будет содержать 60% олова и 40% меди. Исходный сплав содержал 55% олова и 45% меди, т. е. меди в нем было 32-0,45 кг. Так как масса меди в исходном и новом сплавах одна и та же, то получим уравнение 0,45 • 32 = 0,4 (32 +л:). Решив его, находим л: = 4, т. е. в сплав надо добавить 4 кг олова, ф

3. Задумано двузначное число, у которого цифра десятков на 2 меньше цифры единиц. Если это число разделить на сумму его

цифр, то в частном получится 4 и в остатке 6. Какое число задумано?

О Пусть цифра единиц есть х, тогда цифра десятков равна х—2 (х>2), задуманное число имеет вид 10 (х—2)+х= llx—20. Сумма цифр числа х—2+х=2х—2. Следовательно, разделив 11х—20 на 2х—2, получим в частном 4 и в остатке 6. Составляем уравнение: 11х—20=4 (2х—2)4-6, так как делимое равно делителю, умноженному на частное, плюс остаток. Решив это уравнение, получим х = 6. Итак, было задумано число 46. #

4. Равносильны ли следующие уравнения:

1. 4х+10= 10 и 2* + 3 = 5;

2. х—5 = 5—х и х—5 + 2х = 5 —х+2х;

3. -7—+—^—+6=0 и х—4=0?

6 2

5. Решите уравнения: 1) —5х=0; 2) — Зх+2 = 0; 3)4*—1 = 0;

Зх+5 = Зх-1.

6. Решите уравнения:

х+2 Зх-2 х 1 6—2х х+3

7. Решите уравнения:

2х 7 х+1 5

!)

х— 1 2 х— 1 2 —2х’

2х-1 6 1

2—2х² х² —1⁺х+1 "^2 —2х

2х—7 х+1 1 2

2х²—4х+2"^х²—2х+1 3 —Зх х—1 ’ 5х—3 х+1 2 3_q. х² + 3х Зх² + 9х х+3 х

2—6х Зх+4 х—4 х+4 16х

⁵> ^7-тт=³; ⁶> тг4~~4⁺^Тб⁼⁰-

8. В бак вместимостью 1800 л накачивают бензин двумя насосами, первый из которых вливает за 1 мин на 20 л меньше, чем второй. За 15 мин бак наполняется на 75%. Сколько литров бензина накачивает первый насос за 1 мин?

9. В сплаве меди и цинка содержится 82% меди. После добавления в сплав 18 кг цинка содержание меди в сплаве понизилось до 70%. Сколько меди и цинка в отдельности стало содержаться в сплаве?

10. Какое количество 26%-ной серной кислоты следует смешать с 40 кг 68%-ной кислоты для получения кислоты 32%-ной концент­рации?

И. Разделите 850 на две части так, чтобы 8% первой части в сумме с 24% второй части составили 12% всего числа.

12. В двузначном числе цифра десятков на 3 больше цифры его единиц. Если к этому числу прибавить обращенное число, то получится 143. Найдите это число.

13. В равнобедренном треугольнике основание составляет ²/₃ боковой стороны. Найдите основание треугольника, если его периметр равен 24 см.