§3. Вычисление работы силы

Работа, произведенная переменной силой f(x) при перемещении по оси Ох материальной точки от х—а до х—Ь, находится по формуле

A = ]f(x)dx. (13.7)

а

При решении задач на вычисление работы силы часто используется закон Гука:

F=kx, (13.8)

где F—сила, Н; х—абсолютное удлинение пружины, м, вызванное силой F, а к—коэффициент пропорциональности, Н/м.

5. Сжатие х винтовой пружины пропорционально приложенной силе F. Вычислить работу силы F при сжатии пружины на 0,04 м, если для сжатия ее на 0,01 м нужна сила 10 Н.

О Так как х=0,01 м при F= 10 Н, то, подставляя эти значения в равенство (13.8), получим 10 = fc*0,01, откуда к—1000 Н/м. Подставив теперь в это же равенство значение к, находим F= 1000х, т. e./(x)= 1000jc. Искомую работу найдем по формуле (13.7), полагая а—0, 6=0,04:

0,04

А= f I000xdx=500x²№°⁴=0,8 (Дж). • о

5. Пружина в спокойном состоянии имеет длину 0,2 м. Сила в 50 Н растягивает пружину на 0,01 м. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть ее от 0,22 до 0,32 м?

О Используя равенство (13.8), имеем 50 = 0,01 fc, т. е. к = 5000 Н/м. Находим пределы интегрирования: а=0,22—0,2 = 0,02 (м), 6=0,32—0,2 = = 0,12 (м). Теперь по формуле (13.7) получим 0,12

Ч

0,02

JC²

5000л: dx=5000 — 2

= 2500(0,0144-0,0004)=2500 0,014=35 (Дж). ф

5. При сжатии пружины на 0,05 м затрачивается работа 25 Дж. Какую работу необходимо совершить, чтобы сжать пружину на 0,1 м?

О Зная величину сжатия пружины (0,05) м и произведенную при этом работу (25 Дж), воспользуемся формулой (13.7):

ч

0,05

0,5

х²

= 0,00125 к₉

25= | kx dx = k —

о

откуда к=25/0,00125 = 20 000 (Н/м). Теперь по этой же формуле находим

■-J

од

0,1

0,01

20 ООО* dx=20 000 -

= 200004— =Ю0 (Дж). о 2

5. Для растяжения пружины на 0,04 м необходимо совершить работу 20 Дж. На какую длину можно растянуть пружину, совершив работу 80 Дж?

О Так как известны величина растяжения пружины (0,04 м) и произ­веденная при этом работа (20 Дж), то, используя формулу (13.7), имеем

Ч

0,04

0,04

= 0,0008 к,

20= I kxdx=k — о

откуда к=20/0,0008 = 25 000 (Н/м).

Пусть х_х — величина растяжения пружины, соответствующая произве­денной при этом работе в 80 Дж. Тогда

= 12500л:²,

о

80= | 25ОООхdx=25000 —

о

откуда х² = 80/12 500= 16/2500; л^ =4/50 = 0,08 м. ф

5. Цилиндр с подвижным поршнем, площадь поперечного сечения которого S кв. ед., заполнен газом. Считая, что при увеличении объема газа в цилиндре соблюдается закон Бойля— Мариотта pV=k = const, вычислить работу, произведенную силой давления газа при увеличении его объема от V₀ до V_l (температура газа поддерживается постоянной).

О Пусть х (м)—расстояние, прой­денное поршнем (рис. 83). Предполо­жим, что при изменении х на малую величину dx испытываемое поршнем давление останется неизменным; при этом объем V изменится на величину AV. Тогда работа А А силы давления на отрезке dx выразится приближенным равенством AA&pSdx. Так как p=k/V и Sdx = AV, то

• 	|у>
  	А ^	dx

  Рис. 83

  AV

  V

Заменив приращения АГ и А А дифференциалами dV и dA, получим

Проинтегрировав это равенство в пределах от V₀ до V_l9 найдем A^kX^VJVо). •

5. Пружина растягивается на 0,02 м под действием силы 60 Н. Какую работу производит эта сила, растягивая пружину на 0,12 м?

6. Под действием силы 80 Н пружина растягивается на 0,02 м. Первоначальная длина пружины равна 0,15 м. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть ее до 0,2 м?

7. Пружина в спокойном состоянии имеет длину 0,1 м. Сила в 20 Н растягивает ее на 0,01 м. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть ее от 0,12 до 0,14 м?

8. При сжатии пружины на 0,05 м совершается работа 30 Дж. Какую работу необходимо совершить, чтобы сжать пружину на

08 м?

5. Для сжатия пружины на 0,02 м необходимо совершить работу 16 Дж. На какую длину можно сжать пружину, совершив работу 100 Дж?

6. В цилиндрическом сосуде объема К_о = 0,2 м³ заключен атмосферный воздух при нормальном давлении Р₀ = 101 325 Н/м². Воздух сжимается поршнем до объема 0,05 м³. Какая работа производится при этом, если температура воздуха поддерживается постоянной?