§3. Интегрирование по частям в определенном интеграле

Если функции m(x) и !?(*) и их производные и'(х) и i?'(x) непрерывны в промежутке а^х^Ь, то формула интегрирования по частям для определен­ного интеграла имеет вид

$udv = uv\^b_a—\vdu.

a a

4

30. Вычислить jxlnxdx.

О Положим и—\nx, dv=xdx; тогда du=—, v=—~. Следовательно,

x 2

1. . ⁴ 1 f ₂^

xm xdx=—Inx — x —=

e² 1

= 8 In 4 д

2 4

J 2 _e 2) x

31. 1) J arcsinхdx; 2) J хcos xdx; 3) J xarctgx dx.

о

l

31. 1) Jin²xdx; 2) fxe ^Xdx.

§ 4. Приближенное вычисление определенных интегралов

Ь

J'

а

Ъ

[

Формулы прямоугольников: ъ

\ydxJ?—^iy₀+y_l+y₂ + ...+y_K-_l)\ (12.1)

ydxx^b—?-(y_l+y₂₊y₃ + ...+y_n). (12.2)

Формула трапеций:

Формула параболических трапеций (формула Симпсона):

и

\

ь

ydxtt "iг¹* +У2п+4 (^1 +Уз +... +у₂п -1) + 2 (у 2 +Уа + • • • +У2п-г)]-

Г dx

Jl+x²’

1

Вычислить по формуле Симпсона ₂, приняв п = 2.

О Имеем

|у^2=^Ьо+>'4+4(^₁+_Л)+27₂].

О

Так как y=f{x)= 1/(1 +х²), *,=/(<>)= 1. у_х =/(1/4)= 16/17, _л=/(1/2)=4/5, Л =/(3/4) =16/25, ^₄=/(1)= 1/2, то

Г dx 1 Г 1 /16 16\ 41

jT^"T2[¹⁺2⁺⁴(n⁺2l) ^{+ 2}'5j⁼⁰’⁷⁸⁵³⁹-

О

Точное значение интеграла есть я/4 = 0,78540; относительная погреш­ность 8 = 0,00127%. ф

31. Вычислите приближенно определенные интегралы:

2

Гdx

1. |— по формуле прямоугольников (12.1) (и = 10);

1

2

2. J— по формуле трапеций («=10);

1

я/2

3. J х sin xdx по формуле прямоугольников (12.2) («=12);

о

я/З

4. j* по формуле трапеций (« = 6);

/12 я/3

Г sinx

J dx по формуле Симпсона (2л = 6).

я/12

Глава 13 приложения определенного интеграла

§ 1. Применение определенного интеграла к вычислению различных величин.

ПЛОЩАДЬ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ

1. Пусть величина и получает приращение Аи«/(х)Ах, соответствующее изменению х на малую величину Ах; f(x) рассматривается как данная или определяемая из условия задачи функция от х (рис. 67).

2. Заменив приращение А и дифференциалом du (главная часть прира­щения А и) и Ах—дифференциалом dx(Ax=dx), получим

du=f(x)dx.

3. Интегрируя это равенство в пределах от х=а до х=Ь, находим

u=if{x)dx.

а

1. Вычисление площади плоской фигуры. Найдем площадь S криволи­нейной трапеции, ограниченной кривой >>=/(х), осью Ох и двумя прямыми х=а и х=Ь, где a^x^b, /(х)^=0 (рис. 68).

Так как дифференциал переменной площади S есть площадь прямо­угольника с основанием dx и высотой /(х), т. е. dS—f(x)dx, то, интегрируя это равенство в пределах от а до b, получим

S=]f{x)dx. (13.1)

а

Если криволинейная трапеция прилегает к оси Оу так, что c^y^d, х=Ц)(у)^0 (рис. 69), то дифференциал переменной площади S равен dS=f(y)dy, откуда

5=|(p (y)dy. (13.2)

С

В том случае, когда криволинейная трапеция, ограниченная кривой ^=/(х), осью Ох и прямыми х—а и х — Ь, лежит под осью Ох (рис. 70), площадь находится по формуле

5=}|/(х)|Л. (13.3)

а

Если фигура, ограниченная кривой /(у), осью Ох и прямыми х=а и х=Ь, расположена по обе стороны от оси Ох (рис. 71), то

О³-⁴)

а а

Пусть, наконец, фигура S ограничена двумя пересекающимися кривыми y=fi(x) и y=zf₂(x) и прямыми х=а и х=Ь, где а^х^Ь и Л(х)</"₂(х) (рис. 72). Тогда ее площадь находится по формуле

S=J[/2(*)-/i (*)]<**• (13.5)

a

Вычислить площади фигур, ограниченных указанными линиями: 1. х+2у — 4 = 0, у = 0, х= — 3 и х = 2.

О Выполним построение фигуры. Строим прямую х+2у—4=0 по двум точкам А (4; 0) и 2?(0; 2) (рис. 73). Выразив у через х, получим у= —0,5л:-1-2. По формуле (13.1), где /(*)= — 0,5х+2, а= — 3, Ь = 2, находим

2

5= j (—0,5*+2)Жс = [—0Д5*² + 2*]²_з = 11,25 (кв. ед.)

-з

В качестве проверки вычислим площадь трапеции M_iMNN_l обычным путем. Находим: M_lM=f( — 3)= —0,5(—3)+2 = 3,5, N^=/(2)= — 0,5*2-1-2 = = 1, M_lN_l = 5. Следовательно, 5=0,5(3,5+1)*5= 11,25 (кв. ед.). #

2. х—2j + 4 = 0, x-fjy—5 = 0 и ^ = 0.

О Выполним построение фигуры (рис. 74). Построим прямую х—2у + +4=0: у=0, х— —4, А(—4; 0); х=0, у=2, 2?(0; 2). Построим прямую х-\-у — 5 = 0: ^ = 0, х=5, С(5; 0); х=0, у = 5, /)(0; 5).

Найдем точку пересечения прямых, решив систему уравнений

(х-2у+4=0,

|х+^-5 = 0, х=2, у = 3, М(2; 3).

Для вычисления искомой площади разобьем треугольник AM С на два треугольника AMN и NMC, так как при изменении х от А до N площадь

2

1 2

S=2S₁ = 2-5-= 10—(кв. ед.). ф 3 3

ограничена прямой х—2у+4 = 0, а при изменении х от N до С—прямой х+у—5 = 0.

Для треугольника AMN имеем: х—2у4- 4=0; >> = 0,5*+2, т. е. /(*) = = 0,5л:+2, а= —4 и Ь — 2. Для треугольника NMC имеем: х+у—5=0, у=—х+5, т. е. /(х)= —х+ 5, я = 2 и 6=5.

Вычислив площадь каждого из треугольников и сложив результаты, находим:

2

Saamn= I (0,5х+2)й£х=[0,25*² + 2х]!₄ = 9(кв. ед.);

-4

5

⁵'алгмс = 1(-^+5)йЬс=[-0,5х²4-5х]^=4,5 (кв. ед.);

2

S—S_AAMN + S^_NMC — 94-4,5—13,5 (кв. ед.).

Проверка: S_aamc=0,5AC NM=0,5-9-3 = 13,5 (кв. ед.). ф

2. 7 = х², 7 = 0, х — 2 и х = 3.

О В данном случае требуется вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой у=х², прямыми х=2 и х=3 и осью Ох (рис. 75). По формуле (13.1) находим

3

2

Рис. 77

5. у² = х, 0, х=\ и х = 4.

О Здесь требуется вычислить площадь криволинейной трапеции, огра­ниченной верхней ветвью параболы у² = х, осью Ох и прямыми х=\ и х=4 (рис. 77). По формуле (13.1), где /(*) = >/*, а= 1 и 6=4, находим

3. 4

> = jy/xdx=J*.

₌₌?(3^/2_₁³/2) ₌ ^(₈_¹) _{= 4}?(_{кв ед}) ф

2х^3/2

jc ^1/2 dx=

1. 1

5. у = sin лг, jv = О, х=0 и х=тс.

S=\sinxdx= —cosx

О Искомая площадь ограничена полуволной синусоиды и осью Ох (рис. 78). Имеем

= — cosrc+cosO= 1 +1 =2(кв. ед.).

5. у=— 6х, у = 0 и х = 4.

О Фигура расположена под осью Ох (рис. 79). Следовательно, ее площадь находим по формуле (13.3):

— j 6 xdx о

5=

= |[-Зх²]о| = | —481=48(кв. ед.).

5. = (1/3)jc³, у = 0, л:= —1 и jc=2.

О Кривую Д7 = (1/3) л:³ построим по точкам (рис. 80). Фигура, ограничен­ная данными линиями, расположена по обе стороны от оси Ох. Таким образом, площадь фигуры находим по формуле (13.4):

^{0 2} _ _ _ _

5 =

16

⁺Т2“

4

12

- 1 О I L -I I I- -J I

^{= 1}12 (^КВ' ^еД’>’ *

О Здесь требуется вычислить площадь, ограниченную окружностью х²+у² = г², т. е. площадь круга радиуса г с центром в начале координат. Найдем четвертую часть этой площади, взяв пределы интегрирования от О

до г; имеем ^ = J _sjr²—x²dx. Интеграл этого вида рассмотрен в примере 80 о

(2) гл. И:

,2

Г г² . X X г, =•

5,= —arcsin—I—Jr^z—x^z

L^{2 r 2}

Следовательно, S=4S_l =nr². ф

5. y=x² и y = 2x.

О Данная фигура ограничена параболой у—х² и прямой у=2х (рис. 81). Для определения точек пересечения заданных линий решим систему уравнений

\У=*²,

\у=2х,

4^=0,

^ Используя для нахождения

искомой площади формулу (13.5), получим

2

5==4—^=^ (кв. ед.). ф

о

5. 7х² — 9у+9 = 0 и 5х² — 9у+21=0.

О Запишем уравнения парабол в виде у=(7/9)х² + \ и у—(5/9)л:² Ч- 3 и построим эти параболы (рис. 82). Для нахождения точек их пересечения решим систему

ГИ7/9)*² + 1,

V=(5/9)x² + 3,

у=|*^г+/

Рис. 81

i=x²

\

x_;=-J 0 x₂=J х

Рис. 82

/О х-2 X

откуда Xt = — 3, *2 = 3. Так как фигура симметрична относительно оси Оу, то найдем половину ее площади, взяв пределы интегрирования от 0 до 3, и результат удвоим:

^st= [(^²⁺³)^_(^²⁺¹)]^Л=

о

3

о

S=2S_l =8 (кв. ед.). ф

Вычислите площади фигур, ограниченных указанными линиями:

5. 1) х—у + 2 = 0, у = 0, х= — 1 и х = 2; 2) 2х — Зу + 6 = 0, у=0 и х = 3.

6. 1) х—j + 3 = 0, х+у— 1 =0 и у=0; 2) х—2у + 4 = 0, х+2у—$ = = 0, у = 0, X— — 1 и х = 6.

7. 1) у = х², у = 0, х = 0 и х=3; 2) j = 3x², ^ = 0, х=—3 и х=2.

8. 1) у = х²-\-1, j = 0, х= — 1 и х = 2; 2) у = 0,5х² + 2, у = 0, х=1 и х = 3; 3) у= — (1/3)х² +3, ^ = 0, х = 0 и х = 3.

9. j² = x, у^0, х = 0 и х=3.

10. 1) у=-х²-2х + 8, у = 0; 2) ^ — (2/9)jc² + (4/3)jc, у = 0; 3) >>= — х² + 6х—5, j = 0, х = 2 и х = 3.

11. 1) у= 1/х, ^ = 0, х=1 и х = 3; 2) у = 2/х, у = 0, х=2 и х = 4.

12. 1) >> = cosx, у=0, х = 0 и х=к/2; 2) >>=tgx, .у = 0, х = 0 и

х = я/3; 3) >> = tgx, 0, х = п/6 и х = п/3.

5. 1) >>=—Зх, ^ = 0 и х = 2; 2) j = 2x, >>=0 и х=— 3.

6. 1) у= —3х²,у=0,х= \их = 2;2)у = — х² — 1,^ = 0, х = — 2их=1;

у = х² — 4 и 7 = 0.

5. 1) у = х³, у = 0, х = —2 и х = 2; 2) ^ = 4х³, j = 0, х= — 1 и х = 2;

у = х³ — х, у=0, х = — 1 и х = 1.

5. 1) у² = 4х, х = 1 и х = 9; 2) у² = 9х и х=4.

5. 1) х²+у* = 9; 2) x²/a²+y²/b²= 1; 3) x²/164-7²/9= 1.

6. 1) 7=sinx, 7=0, x=—я/2 и х=я; 2) 7 = sinx, 7=0, x=0 и x = 2n.

7. 1) 7 = x² и 7= — Зх; 2) y=x² и 7=2x4-8; 3) 7 = x² и 7=x+2;

7 = x² + 2 и 7 = 6.

5. 1) 7 = 0,5x²—4x +10 и 7 = x+2; 2) 7=x² —2x + 3 и 7 = 3x— 1;

7 = (l/3)x² — 2x4-4 и 7=—x+10.

5. l)7=2x²+l и 7=x² + 10; 2) 7= — l,5x² + 9x — 7,5 и 7= = — x²4-6x—5.

6. 1) 7 = x² и 7=2—x²; 2) y=x² и x=7².

7. 1) x² = 37 и 7 = x; 2) 7 = x² —6x+9 и Зх—7 —9 = 0.

ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА

1. вариант Вычислите интегралы:

2. вариант Вычислите интегралы:

8

О

2

О

я/2

я/3

3

я/2

Найдите площади фигур, огра-

ниченных линиями:

Найдите площади фигур, огра­ниченных линиями:

2. 7=— х² + х+6 и 7=0;

3. у = х² — 8х+18, 7=—2x4-18.

2. 7= — х²4-2х+3 и 7=0;

3. 7= — х² + 10х—16, 7 = х + 2.