§ 7. Смешанные задачи

77. Найдите функцию, производная которой / = sin2x—хе^3х24-1.

78. Найдите , _{если при х}=п\2 значение первообразной

J cosx4-e

функции равно 2.

77. Составьте уравнение кривой, проходящей через точку

А (я/3; 2), если угловой коэффициент касательной к кривой в каж­дой ее точке равен cos (х/2). 92. Скорость прямолинейного движения точки задана форму­лой t; = sin2f. Найдите закон движения точки, если в момент t = n/6 она находилась на расстоянии 0,75 м от начала отсчета.

93. Точка движется прямолинейно с ускорением а=(—6f+24) м/с². В момент времени /=1 с ее скорость v= 15 м/с, а пройденный путь

= 20 м. Найдите: 1) закон изменения скорости точки; 2) закон движения точки; 3) ускорение, скорость и путь в момент /=3 с; 4) мо­мент времени, когда скорость точки будет наибольшей. Найдите следующие интег

тегралы: 95. e^cosx^/e

96.

Г sinxd!x Г cosxdx >• I . 97. I =—.

J 1—cosx J 9+sin х

8. J sin² x cos² xdx. 99. J sin 5x cos xdx.

ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА

1. вариант

Найдите интегралы:

J ху/х

2. •

J Sin X COS X

2. Составьте уравнение кривой, проходящей через точку (—2; 8), если угловой коэффициент касательной в любой точке касания равен 2х—4.

3. Скорость прямолинейного движения точки v = 3t² + 6t—4. Най­дите закон движения точки, если за время г=2с она прошла путь 8 м.

2. вариант

Найдите интегралы:

„ Г-Д-У^-%

J ху/х

2. Jbb⁺?b

3. J(4sin² х cos х—cos x) dx.

4. Найдите уравнение кривой, проходящей через точку А (п/3; 1/2), если угловой коэффициент касатель­ной к кривой в каждой ее точке ра­вен sinx.

5. Точка движется прямолиней­но с ускорением a = 6/+ 6. Найдите закон движения точки, если 5=0 в момент времени / = 0, а в момент времени t=3 с скорость г=40 м/с.

Глава 12 определенный интеграл

§ 1. Определенный интеграл и его непосредственное вычисление

Пусть функция /(х) определена на отрезке а^х^Ь. Разобьем этот отре­зок на п частей точками а<х₀<х₁<х₂<...<х„ = Ь, выберем на каждом эле­ментарном отрезке х_л_!<х<х_л произвольную точку £_к и обозначим через

Ах_к длину каждого такого отрезка. Интегральной суммой для функции f(x) на отрезке а^х^Ь называется сумма вида

£ /(ддх^дуд*, +/(УДх₂ + ...+/(уЛх„. fc= 1

\

Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке а^х^Ь называ­ется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю: ь

f(x)dx= lim £ /(У Ах_к

max Ajc_k—*0 к = 1

Для любой функции /(х), непрерывной на отрезке а^х^Ь, всегда

ь

существует определенный интеграл J f(x)dx.

а

Для вычисления определенного интеграла от функции /(х) в том случае, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл ^(х), служит формула Ньютона — Лейбница:

ь

[

— F(b)—F(a),

f(x)dx=F(x)

т. е. определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Вычислить следующие определенные интегралы:

13 2

1) J xdx; 2) J х² dx; 3) J (х² + 2х+1) dx.

о 2 -i

О По формуле Ньютона—Лейбница получаем:

^^xdx=~₂

О

j' x²dx=-^ 2

1

1. 1 1 =;(1²-о²И;

2

о

2. 1,., 19

=;(3³-2W;

2

3) |(^+2x+1)^=^³+x²+xJ²_i=^-2³ + 242J-^(-1)³

-1

+(-1)Ч(-1)]=9. •

1. е

1. 1) | e^xdx; 2)

I -1 /*-

i -i г²"¹

=e —e =e—=-

О 1) J e^xdx=e -l

e e

2) J—^=lnjc l

n/2

= lne—In 1 = 1 — 0 = 1. •

1

n/2

2. dx

   1) Jcos xdx:; 2) j*

i , I^n/2 . ⁿ • ⁿ * 1 1

О 1) cos x dx=sin x\ =sin-—sin—= 1 — -=-;

¹ U 2 6 2 2

n/6

я/2

/6 ф

1

я/6

я/3

js?r -(f - ')-³

я/4

V3/2 1

dx 1 H-x²

¹ ■> J Ж? ²⁾ Ji

-1

V3/2

[ dx . I^² . Уз . *

О 1)

, = arcsin x = arcsin arcsin (— 1)=-

J ^я ’ ^{1 1 V} ■

1

f dx

²⁾ Jtt?-"¹⁸*

0

_л 71 _Л Я

= arctg 1—arctg 0=—0=-. ф о 4 4

Вычислите следующие определенные интегралы:

5. 1) [\fPdx-, 2)

3)

^4> Ы*-

5. 1) \e^2xdx; 2) \e^3xdx.

12. 1) f cos2xdx; 2) J sin4.xdx; 3) Jcos(x/2)dx.

я/3

о

я/4

• </x

  ~ ^ ч Г 4dx

2)

1) —;

J cos^x

я/3 я/4

14. 1) 1-1 Л-W; 2) (—5=—sinxW

J \cos^zx swrxy J \cos^zx J

V3

Г dx J-\/4-*²

V 2

\/l-^² J s/9-х² J_^/4

1/2

я/6

5^3

0

я/3

я/6

V3/2

— я/4

3

^Л _;; 2) f—J==; 3)

VI

16.