§ 5. Интегрирование по частям

Интегрируя обе части равенства d(uv) = udv + vdu, получим J d(uv) = $udv + \vdu\ uv=$udv+$vdu,

откуда

\udv = uv—\vdu. (11.14)

С помощью этой формулы вычисление интеграла J udv сводится к вычислению интеграла \vdu, если последний окажется проще исходного.

74. Найти следующие интегралы:

1. JxsinxAr; 2) J—3) j^%₄/x² + a² dx.

О 1) Положим и=х, dv = sin х dx; тогда du= dx, J dt; = J sin x dx:, т. e. v = — cos x. Используя формулу (11.14), получим

J л: sin xdx— —jccosjc+J cos xdx= —xcosx+sinx+C.

, ^dx _J ^dx L [^dx f -_2J

2. Положим u=\nx, dv=—; тогда du=—, \dv= — = x dx= = —v= — По формуле (11.14) получим

3. Положим u=y/x² + a², dv = dx; тогда du—- ^X-^X - , v=x. По форму-

y/x² + a²

ле (11.14) получим

fJx² + a² dx=xy/x² + a² — f

В числителе подынтегральной функции последнего интеграла прибавим и вычтем а² и представим этот интеграл в виде суммы двух интегралов:

Г Гг 2"j Гг 2 fx² + a²-a² г— _т Г х² + а²

Jx^ + a* dx — x Jx^z + a^z — — - — dx — xjх^л + а.¹ — — -dx+

J^{v V} J ^V ijs+a*

dx

2. Г ^Й

+ <Z I —r—

J Jp

Последний интеграл находим по формуле (11.11): f у/х² + а² dx—xyfx² + a² —\у/х² + а² dx+a² In |x+y/x² + a² | +C. Перенеся j yjx² + a² dx из правой части в левую, получим

2\Jx² + a² dx=xy/x² + a² +tf²ln \х+^/х² + а² | + С,

Р

или окончательно

х² + а² dx=^xy/x² + a² + ^-ln|х+у/х² + а² \ +С. #

Найдите следующие интегралы: .75. 1) Jxcosxdx; 2) j(l — х) sinjtdk. 76. 1) 2) yn²xdx.

77. 1) \xe^xdx; 2) |4^-.

J J ^sin x

77. 1) | arcsin xdx; 2) farctgxdx.

78. 1) )e^xcosxdx; 2) je^xsinxdx.

79. Проверьте равенства интегрированием по частям:

1. J y/x² —a² dx—\-x у/ х² — a² — ^-ln |х+ y/x² — а² | +С;

2) ^у/а²—х² rfjt=y arcsin^ + ^у/а²—х² +С.

§ 6. Интегрирование некоторых тригонометрических

ФУНКЦИЙ

При вычислении интегралов вида j sin²" х dx или j cos²" .г dx от четной степени синуса или косинуса используются формулы понижения степени

. , 1— cos 2х ₉ 14-cos 2х sinx = ; , cos х= .

2. 2

При вычислении интегралов вида jsin²”⁺¹ xdx или Jcos²ⁿ⁺¹ xdx от нечетной степени синуса или косинуса нужно отделить от нечетной степени один множитель и ввести новую переменную, полагая cos x=t в первом интеграле и sin x=t—во втором.

При вычислении интегралов вида j sin сих cos рлг dx, J sin ax sin px dx и j cos ax cos fixdx применяются формулы

sin ax sin px=^ [cos (a—P) x—cos (a 4- P) x], cos ax cos px=- [cos (a—P) x+cos (a4- p) x],

sin ax cos px=^ [sin (a—p) x+sin (a4- P) x].

Найти следующие интегралы:

77. 1) Jcos² xdx; 2) Jcos*xdx.

О 1) Заменяя cos²x на (14-cos 2x)/2, получим

I cos 2xdx=]-x+ ^sin 2x4-C. 2 4

f . _j [*1 H-cos 2x 1 f If cos xdx= 2 2 °

2. Jcos⁴xdx=J(cos²x)²dx=^ dx=-Jdx+- Jcos2xd!x4-

В последнем интеграле заменим cos²2x на (14-cos4x)/2; тогда получим

1 1 8*⁺32^S

+ - cos² 2xdx.

■U-

Jcos⁴ x<fa'=-x+ - sin 2ж+ - J”(l +cos4л:)Л=-х+ -sm2x+ — sin4x+C=

1 1

=-x+ -sin2x4- — sin4x+C. #

77. 1) Jtg² xdx; 2) Jt%^Axdx.

О 1) Воспользовавшись соотношением tg²x=—; 1, получим

cos^z x

{^tg2x<fe=J(^k-¹)'^fa=I^"I^dx=tg"“^x+c

Вычислим первый интеграл. Полагая tg х=м, найдем dx/(cos² х) = du и, следовательно,

Использовав результат предыдущего примера, окончательно получим J*tg⁴x</x=^—^-tgx+x+C. ф

77. 1) J sin³ xdx; 2) Jtg³xdx.

О 1) | sin³ x dx=J sin² x sin x dx⁼J (1 — cos² x) sin x dx.

Положим cos x=u; тогда—sin xdx=du и, следовательно,

(* Г I/³ COS³ X sin³ xdx= — (1 —u²)du=—u+ — +C= — cosxH h C.

2) Jtg³^=Jtg^tgx^=J

Г _{w ч} fsinxdx 1 _

= tgxd(tgx) — =-tg²x4-ln|cosx| + C. ф

J J cos x 2

77. 1) J sin5xsin3xrfx; 2) J cos 4x cos x dx; 3) J sin 7x cos 3x dx.

f if 1/1 1 \

О 1) sin 5x sin 3xdx=- (cos 2x—cos 8x) t/x=— I — sin 2x— - sin 8x I 4- C=

Найдите следующие интегралы:

77. 1) j* sin² xdx; 2) J sin⁴ xdx.

78. 1) Jetg²xdx; 2) J ctg⁴ xdx.

79. 1) Jcos³ xdx; 2) J sin⁵ xdx;

3. Jcos⁵ xdx:; 4) J ctg³ xdx.

77. 1) J sin 3x sin x dx; 2) J cos 5x cos 3x dx; 3) J sin 4x cos 3x dx.