27. Скорость прямолинейно движущейся точки задана формулой v = 2t — 3. Найдите закон движения точки, если к моменту начала отсчета она прошла путь 6 м.

28. Скорость прямолинейного движения точки задана формулой v = 3t²+4t— 1. Найдите закон движения точки, если в начальный момент времени она находилась в начале координат.

29. Скорость прямолинейного движения точки задана формулой v = 2 cos t. Найдите закон движения, если в момент t=n/6 точка находилась на расстоянии s=4 м от начала отсчета.

30. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью v0. Найдите закон движения этого тела (сопротивлением воздуха можно пренебречь).

31. Точка движется прямолинейно с ускорением a=12t² + 6t. Найдите закон движения точки, если в момент t— 1с ее скорость г = 8 м/с, а путь s=6 м.

32. Точка движется прямолинейно с ускорением а=— 6^+18. В момент времени t = 0 (начало отсчета) начальная скорость v₀ = 24 м/с, расстояние от начала отсчета s₀ = 15 м. Найдите: 1) ско­рость и закон движения точки; 2) значения ускорения, скорости и пути в момент t=2 с; 3) момент, когда скорость является наибольшей.

§ 4. Интегрирование методом замены переменной

Сущность интегрирования методом замены переменной (способом подста­новки) заключается в преобразовании интеграла J/ (jc) dx в интеграл \F(u)du, который легко вычисляется по какой-либо из основных формул интегрирования.

Для нахождения интеграла j/ (jc) dx заменяем переменную jc новой переменной и с помощью подстановки х=ср (и). Дифференцируя это равенство, получим dx=(p' (u)du. Подставляя в подынтегральное выражение вместо х и dx их значения, выраженные через и и du, имеем

if М <fc=J/[<p («)] Ч>' (и) du=i F(u) du.

После того как интеграл относительно новой переменной и будет найден, с помощью подстановки г/=\|/ (лг) он приводится к переменной jc.

Найти следующие интегралы:

27. 1) J(3x+2)⁵ dx; 2) }(2x³+l)⁴x²dx;

__ч Г xdx Г х² dx

³>J<?7iF^{; 4)}J^T-

О 1) Введем подстановку 3x4-2 = и. Дифференцируя, имеем 3dx=du, откуда dx=(l/3)du. Подставив в данный интеграл вместо 3x4-2 и dx их выражения, получим

|(3_Л+2)^=1|„^_И=1-1-+С=1«⁶₊С.

Заменив и его выражением через х, находим

(3x+2)⁵fifcc=-^M⁶ + C=-^(3jc+2)⁶ + C.

J 18 18

Проверка: d -^-(Зх+2)⁶ + С =^-(3x-b2)⁵-3dx=(3x+2)⁵dx. 118 I 18

2. Положим 2х³ +1 =и, откуда 6x²dx=du, х² dx=(\/6)du. Таким j*(2x³4- l)⁴x²dx=-j*M⁴dM=-- — + С=—м⁵ + С=—(2х³4-1)⁵ +С.

3. Полагая х² + 1=м, имеем 2xdx=du, xdx=(\/2)du. Значит

-Ч-^^+с--5.^+с-

1

■+С.

4(х²4-1)²

Положим 5х³4-1 = м, откуда 15x²dx=dM, x²dx=(1/15) dM. Поэтому х² dx 1 Г du 1 1 -

t5FTT⁼T5j7⁼i5^ln“^+c=T5^{ln|5jc +1|+с} •

54

. 1) ftgkxdx; 2) f—; 3)

J J sm м J cos м

1. I sin dx

О 1) Имеем tgfcxdx= —. Положим cos kx = u, откуда

J J cos kx

iin /ex dx=dw, sin kx dx = — (1/A:) dw. Следовательно,

f 1 fdw 1 1

tg kx dx = —= — — In | г/1 +C= — - In I cos kx | +C.

J k] и k k

2. Г*-. Г.

   J sin м J 2 sin (m/!

   Так как sin м=2 sin (м/2) cos (м/2), то

du

m/2) cos (m/2)

Разделив и умножив знаменатель на cos (м/2), получим

du

Г *_.i Г_

Jsmu 2jtg(u/:

w/2)cos² (m/2)

Положим tg(M/2) = z; тогда —₂ — ~du=dz, т. e. —, ■—-- = 2dz. Таким

I 41 //1 / ЛЛС* I^- *

1 , ,

cos² (m/2) 2 ^Z’ ^e* cos² (m/2)

образом,

J sin M J z

Г dM Г dM COSM I / 7C Y

^cinu ⁺m)

z| 4-С=In | tg (m/2) | +C.

2. Имеем | — |—Положим ^4-m=z, тогда du=dz. По- sin (

этому

О 1) Положим 5х² = и, откуда 10xdx—du, xdx=(l/10)dw. Значит,

Г if 13“

+c.

101n3

^5x2 xdx=— I 3^й du—— -—- +С= J 10 J 10 In 3

2. Положим — Зх²4- 1 = w, откуда —6xdx = du, x dx — — (1 /6) du. Таким образом,

^e~^3xl+i xdx= - ^X-^e^u du= ~^e^u+C= - ^Х-е-^3х2+' + C. •

3xdx

56. 1) [^ф-dx; 2) f-

J v* J^c

cos² 2x²*

О 1) Положим y/x=u, откуда dx/(_sfx)=2du. Следовательно, dx=2 J sin udu= —2 cos u+C= —2 cos yfx+C.

2. Положим 2x² = w, откуда 4xdx=dw, xdx=(\/4)du. Таким образом,

Г 3xdx 3 Г du 3 3

+ C. •

—2~^~2⁼1 —=-tgw-bC=-tg2x" J cos 2д: 4 J cos м 4 4

Г 3^хdx Г cosxdx

‘ ' J \j25—9* ^; ^ JiW7

Г 3^xdx _ 1 Г

J >/25 — 9^{х ln3}J

О 1) Полагая 3^х — щ находим 3^xln3dx=dw, _V/25^9^X =_х/25^«²^. Сле­довательно,

du 1 . и 1 . 3^х ^

• =—- arcsin - + С=-—— arcsin — 4- С. у/б^-й² 1пЗ 5 In 3 5

(5x⁴+3)^J

61. 1) jy/4x³+1 x²dxr; 2) j*л/с*⁴ — l)³ x³dx;

3. J yj2sinx— 1 cosxdx (подстановка 2sinx— 1 = w);

4. jy/e*+Te^xdx (подстановка e^x+\=u).

3)

! (4 — 3 jc) ² ’

59. 1) f 5/(3jc+ 1)² dx; 2)

5)

3)

V(3x-5)² ’

JC³ rfjc

4)

3)

2) Положим sinx=w, откуда cos xdx=du. Таким образом,

Г cos xdx С du 1 и „ 1 sinx _ J—r-j-= —^=-^arctg-+C=-^arctg—--+c. • J4+shtx J44-M 2 2 2 2

Найдите следующие интегралы:

58. 1) $p-2x)³dx; 2) |(5г-1)⁴Л; dx Г dz

V(3x-1)³ ’

60. 1) f(x² + 3)⁵ xdx; 2) j’4(x⁴—1 )²x³dx; f 6z²dz " '

Jo-

(5z+l)³’

yJlx—\ dx; dx

-3 t)² dt; 4)

-2z )

4)

dx

V(*³-D³ ’

[^eixdx _1V (* cosxdx

’ J e^3x+V ⁾ J 2sin x+1 ’

sin² (я/3 —cp)’

Г dx J xsin² lnx

z^/l — ln²z e^xdx

J» 2) j*xe^-x2Ac; 3) j*e^sinxcosxAt; 4)

Jfsin(f² — 1)A; 2) Jsin(z/2)A; 3) Jx³ cosx⁴ At; Jcos^/x dX; ^ j*xcos(x²+l)dx.

{y^cos²V7^{: 2) 3)}|:

dx

Jx² sin² (1/x)’ f -^gy^- ■ ₂)

f sin xdx __ч f e^xdx _₄ fx²dx ._ч f

> Ji+7¹-’ ⁴⁾ J:

Щг ²>Шг ³'1

j cosxdx: ^ Г e^xdx J yj\ — sinx J

f z²<fc

J T+T³ ,.

J tg Зхй£х; 2) | ctg dx; 3) J ctg (x/2) dx.

J_n/(3z⁴+2)³ z³<fe; 2) J ^/(1 — 3*²)⁴ xfifct.

x(l +ln² x)

x² dx

62. 1 63. 1

64. 1

65. 1

66. 1

67. 1

68. 1

69. 1

70. 1

4

64. 1 4

65. 1

66. 1

dx sin 2x’ dt

dx

dx

2)

3)

sin(x/3)’ ⁷ |cos3x -In t)dt

cos (x/2)

e^1/x dx

dx

/(1+ln/)’ j a^xA x ³ dfx; 2) J a^2xb^2x dx.

4) Г

J cos 3x J

2)