§ 8. Решение косоугольных треугольников

1. Решение треугольника по двум сторонам и углу, заключенному между

ними

39. Дано: а = 24,6, 6 = 32,8, С =54°,2. Найти: с, Л, 5.

О Сторону с вычислим по формуле c² = a²+b²—lab cos С, или с² — =a²+b² — 2tf6sin(90° — С), так как cos С=sin (90° — С). Подставив числовые значения во вторую формулу, выполним вычисления:

с² = 24,6² + 32,8² - 2 • 24,6 • 32,8 • sin (90° - 54°,2) = 605 + 1080 - -49,2-32,8 sin35°,8 = 605+1080-944 = 741; £=^/741=27,2.

Углы А и В вычисляем по формулам sin А = (a sin С)/с и sin В=ф sin С)/с: sin А = (24,6 • sin 54°,2)/27,2 = 0,735, А=47°,3; sin 5=(32,8 • sin 54°,2)/27,2 = 0,98, В= 78°,5.

Контрольное вычисление: Л + 2?+С=47°,3 + 78°,5+ 54°,2 = 180°. Задача решена верно. Ответ: с=27,3, Л=47°,3, 5=78°,5. #

2. Решение треугольника по стороне и двум углам

40. Дано: а=76,7, В= 78°,2, С=64°,6. Найти: Л, 6, с.

О Вычислим угол А: А = 180°—(В+С)= 180° — (78°,2+64°,6) = 37°,2. Сто­роны b и с вычисляем по формулам b=(asinB)/sinA и с=(а sinC)/sin^4: 6=(76,7 sin 78°,2)/sin 37°,2= 124, с=(76,7 • sin 64°,6)/sin 37°,2= 115. Контрольное вычисление угла/?: sin 2?=(6 sin С)/с=(124 sin 64°,6)/ 115 = 0,977, 2?=78°,1.

Задача решена верно. Ответ: А = 37°,2, 6=124, с=115. •

3. Решение треугольника по трем сторонам

41. Дано: а=486, 6=475, с = 494. Найти: А, В, С.

О Углы А, В и С вычисляем по формулам

Ь² + с²-а² а² + с²—Ь² а² + Ь²—с²

cos А= — , cos 5= , cos С= — ;

2&с 2яс 2яо

, 475²+494²—486² cos А = 2^475^494 ⁼ °»^868; ^ = 60°,2;

486²+494²—475²

cos 5= . - =0,848; Я=58°;

2-486-494

486²+475²—494²

cos С= —— =0,881; С=61°,8.

2-486-475

Контрольное вычисление: Л+2?+С=60°,2 + 58° + 61°,8 = 180°. Задача решена верно. Ответ: Л = 60°,2, В= 58°, С=61°,8.

4. Решение треугольника по двум сторонам и углу, противолежащему одной из них

Дано: а, 6, А. Найти: с, В, С.

По теореме синусов находим sin B=(b sin А)/а. При различных значениях

а, 6, могут представиться три случая:

1. sin 5 > 1. Решения нет.

2. sin5=1. Угол В=90° (треугольник прямоугольный).

3. sin В< 1. Так как существуют два угла между 0 и 180°, для которых синус имеет одно и то же значение, меньшее единицы, то могут существовать два угла, удовлетворяющие условиям задачи (один угол острый, а другой—тупой).

Если a>b, то задача имеет одно решение.

Если а<Ь, то задача может иметь два решения.

42. Дано: а=32, 6 = 12, Л = 78°,2. Найти: 2?, С, с.

О 1. Вычислим угол 5 по формуле sin В—(b sin Л )/я: sin 5=(12 sin 78°,2)/32=0,366; 5=21°,5.

2. Вычислим угол С: С= 180°-(Л + Я)= 180°-(78°,2+2Г,5)=80°,3.

3. Вычислим сторону с по формуле c=(asinC)/sin А:

с=(32 sin 80°,3)/sin 78°,2 = 32,2.

2. Произведем контрольное вычисление угла С по формуле sinC= = (с sin B)/b:

sin С=(32,2 sin 21 °,5)/12=0,986; С=80°,3.

Задача решена верно: Ответ: В=21°,5, С=80°,3 с=32,2. #

43. Дано: а = 48, 6 = 50, А = 68°,3. Найти: 2?, С, с.

0. 1. Вычислим угол В по формуле sin В= (6 sin А )/а:

sin 5=(50 sin 68°,3)/48 = 0,968; В=75°,5.

Так как Ь>а, то задача имеет два решения: В₁ = 15°,5, В₂ —180° — 75°,5 = = 104°,5.

Дальнейшее решение проведем для двух случаев.

0. случай: 2^ = 75°,5.

2. Вычислим угол С: С= 180°-(Л + Л₁)= 180°-(68°,3 + 75°,5) = 36°,2.

3. Вычислим сторону с по формуле с=(я sinC)/siny4:

с=(48 sin 36°,2)/sin 68°,3 = 30,5.

2. Произведем контрольное вычисление угла С по формуле sinC= = (с sin B)/b:

sin С=(30,5 sin 75°,5)/50 = 0,591; С=36°,2.

II случай: iВ₂ = 104°,2.

2. Вычислим угол С: С= 180°-(Л + Я₂) = 180°-(68°,3 +104°,5) = 7°,2.

3. Вычислим сторону с по формуле с=(a sin C)/sin А:

с=(48 sin 7°,2)/sin 68°,3 = 6,48.

2. Произведем контрольное вычисление угла С по формуле sinC= = (с sin B)/b:

48sin 104°,5 6,48sin(180°-104°,5) 6,48sin75°,5 _Л ^ „ ^51ПС= 50 ⁼ 50 ⁼ §5 ^’^{108; С=7}’²'

Задача решена верно. Ответ: 2?=75°,5, С=36°,2, с=30,5 или В= 104°,5, С=7°,2, с=6,48. •

44. Решите треугольник по двум сторонам и углу, заключенному между ними: 1)а = 72,8, 6 = 58,4, С=64°,8; 2)6 = 658, с=893, А — = 48°,2; 3) а = 5,64, с = 7,28, 5=63°,7; 4)а = 372, 6=456, С=112°,3.

45. Решите треугольник по стороне и двум углам: 1) 6 = 652, А = 72°,2, С=68°,6; 2) с = 42,8, 5=115°,2, С=42°,6; 3)я = 5,18, А = = 39°,1, С=64°,3; 4) с = 236, А = 27°,3, В=76°,4.

46. Решите треугольник по трем сторонам: 1) а = 372, 6 = 356, с = 389; 2) а = 38,6, 6=16,8, с = 26,2; 3) а = 8,25, 6 = 5,85, с = 3,15;

а=4,48, 6 = 5,12, с=6,34.

47. Решите треугольник по двум сторонам и углу, противолежа­щему одной из них: 1)я=256, 6 = 238, А = 68°,2; 2)я = 36,5, 6=40,8, Л = 62°,7; 3) я = 8,75, 6 = 7,15, Л = 42°,5; 4)6 = 624, с = 638, Я=48°,2.