§ 3. Физические приложения неопределенного интеграла

27. Скорость прямолинейного движения точки изменяется по закону v — 3t² — 2t. Найти закон ее движения.

О Известно, что скорость прямолинейного движения точки равна

ds

производной от пути s по времени t, т. е. v=—=3t² — 2t, откуда ds = (3t² —

at

• 2t)dt. Интегрируя, находим

j(3/² — 2t)dt; s—t³ — t² + C. ф

27. Скорость прямолинейного движения точки изменяется по закону v = 3t²+4. Найти закон движения s, если за время t = 2 с точка прошла 20 м.

ds

О Так как v=—=3/²+4, то ds=(3t²+4)dt. Интегрируя, получим dt

\ds=\(3t²+4)dt; s=t³+4t+C.

Используя начальные условия, найдем 20 = 2³ + 4 *2 +С, т. е. С=4. Итак, закон движения точки имеет вид s=f³ + 4/+4. ф

27. Найти закон движения свободно падающего тела при пос­тоянном ускорении g, если в начальный момент движения тело находилось в покое.

О Известно, что ускорение а прямолинейно движущегося тела есть

вторая производная пути s по времени t или производная от скорости v по

d²s dv dv

времени t, т. е. а=—-^=—. Так как a=g, то —=g, откуда dv=gdt. dt dt dt

Интегрируя, получим

\dv=\gdt; _V=gt + C_l.

Используя начальные условия t=0, t? = 0, имеем 0=_<g *0 + C₁, т. е. ^=0.

Таким образом, скорость движения тела изменяется по закону v=gt.

_IIU ^ ds ds

Найдем теперь закон движения тела. Так как v=—, то ——gt, или

dt dt

ds=gtdt. Интегрируя, получим

Используя начальные условия /=0, 5=0, имеем 0=g-0²/2 + C₂, С₂ = 0. Итак, закон движения падающего тела имеет вид s=gt²/2. #

27. Точка движется прямолинейно с ускорением a = 6t—12. В мо­мент времени / = 0 (начало отсчета) начальная скорость v₀ = 9 м/с; расстояние от начала отсчета so = 10 м. Найти: 1) скорость и закон движения точки; 2) значения ускорения, скорости и пути в момент t = 2 с; 3) момент, когда скорость является наименьшей.

dv

О 1) Находим скорость: —=6/—12, или dv = (6t—12) dt. Интегрируя,

dt

получим

\dv = \(6t-\2)dt; v=3t²-\2t+C₁.

Используя начальные условия t — 0, v₀ = 9, имеем 9 = 3 О² —12 0+Ci, т. е. Сi=9. Следовательно, i? = 3r² — 12/Н-9.

ds

Находим закон движения точки: —=3/ — 12/Н-9, или ds=(3t — I2t+9)dt.

dt

Интегрируя, находим

f ds=j (3t² — \2t+9) dt; s=t³ — 6t² + 9t+C₂.

Используя начальные условия /=0, 5₀ = Ю, имеем 10 = О³ — 6 О²+ 9 *0+С₂, т. е. С₂ = 10. Таким образом, s=t³ — 6t² + 9t+10.

2. Найдем a, v и s при /=2: а=6 -2—12=0; v = 3 *2² —12 *2 + 9= —3 (м/с); 5=2³—6 -2²+ 9 -2 +10= 12 (м).

3. Исследуем функцию, определяющую изменение скорости, на макси­мум и минимум:

v = 3t² -\2t-\-9, v' = 6t—12, 6t—12=0, t = 2; v" = 6>0.

Следовательно, скорость является наименьшей при t=2 с.- #

27. Скорость прямолинейного движения точки изменяется по закону: 1) v = t² — 8f + 2; 2) v = 4t—3t². Найдите закон движения

точки. -