и Г *** [ ^dx if

J v"9 —16jc² J [~9 7~⁴J

4 / X

V 16

3) По формуле (11.13) находим

dx 1

Найдите следующие интегралы:

9. 1) Jtfrfcp; 2) Jx⁴dx; 3) Jx^m_1d!x; 4) \x^l~ⁿdx.

10. 1) J4t³dt; 2) \nxⁿ~^ldx\

J(4m³ —6m²—4m+3)</m; 4) |jc² + 5^dbc;

J3 (2x² — l)² dx; 2) Jx³(l+5x)*/x;

Jx⁴(x— l)d!x; 4) J(2x—1 )³ dx.

J(3x ⁴-f8x ⁵)*/x; 2) J(x ⁴—x ³ —3x ² + \)dx.

jp ²⁾\^Х~Г^{; 3}) J(5«^3/2-7«^3/4)rf«;

|5x₄/jTrfx; 5) jx~^2/3dx.

Зч/ф”

Г/ 3 2 4 */?" \ j

-n ГГ ^3rf<p J q> ’ ' J x+3’ ' J 2—<p’

j jc²rfjc | JC²d!x

J rr^{; 5)} J

| 5^хй?х; 2) J4²Mjc; 3) $5^x3x²dx. j(e^x+2x)dx; 2) f (3^x-e^x-l)dx;

]e^5xdx; 4) fe^2x2xdx; 5) fe~^x3x²dx.

J(sinx—5)dx; 2) ; 3) Jsin6xiix;

J sin (x/4) dx; 5) j x sin x² dx. j (4—3 cos x) dx; 2) j cos 4x dx; 3) J cos (x/6) dx;

dx

1 . 4x

r—-arcsin h C.

4 3

4 '

I

,, , 2=^arctg^+C. 16+x^z 4 4

‘’ЫИгтжЫ!,

</x

12 2x 1

arctg — +C=—x

⁴(f⁺"²)⁴ (0^+x

4 5

10

2x

x arctg —+C. •

11. 1

3

12. 1

13. 1

14. 1

4

13. 1

_(xU2__xii3_+xm₎

3/4 _{+ ;c}2/3 _{+ ;c}

1/2

d!x; 2) dy

-dx.

Г t/ф f xdx

du

16. 1

4

17. 1

2)

18. 1

19. 1

3

19. 1

4

21. 1

2. Jcos(2 — 3x)dx; 5) \x²cosx*dx.

9. Г cosxdx „ Г sinxdx __ч Г cosxdx

• J315ГГГГ’ ²⁾Jj^ ³>JsTw

²³' ¹¹ flcos' v^{1 2)} {cos’ 5*' ³⁾ jcos^tt+f.)^{1 5)}j^- ^з>Ы=г

f 2dx __ч Г du __ч Г dx „ f 3dx

Чутз^⁵ Чу!^^{; 4)} Jyi6^'

*»Ji& ®fs& «Й?-

§ 2. Геометрические приложения неопределенного

ИНТЕГРАЛА

Отыскание функции по заданной производной или по дифференциалу— задача неопределенная, так как j/ (х) dx означает множество первообразных функций вида y=F(x) + С, отличающихся друг от друга постоянным сла­гаемым С; С может принимать любые числовые значения, если на перво­образную функцию не наложено никаких начальных условий. Чтобы из мно­жества первообразных функций выделить одну определенную функцию, должны быть заданы начальные условия. Под начальными условиями понимается задание частных значений х и у для первообразной функции y = F(x) 4-С, по которым находится определенное значение С, удовлетворяю­щее этим начальным условиям.

27. Найти функцию, производная которой у' = 3х² — 6*4-2.

О Имеем У = 3х² — 6х+2, или —=3х² —6x4-2, т. е. dy=(3x² — 6х+2)dx.

dx

Находим интегралы от левой и правой частей последнего равенства:

Jdy=J(3x² — 6x4-2) dx; _<у4-С₁=х³ — Зх²4-2x4- С₂.

Полагая С₂ —Сх = С, получим

у=х³ — Зх² 4-2x4-С.

Мы нашли общее выражение функций, имеющих своей производной / = 3х² — 6x4-2. В дальнейшем при интегрировании подобных выражений постоянную интегрирования будем писать только в правой части, ф

27. Найти функцию, производная которой у' = 2х—3, если при х=2 эта функция принимает значение, равное 6.

dy

О Имеем у' = 2х—3, или —=2х—3, т. е. dy=(2x—3)dx. Интегрируя обе dx

части последнего равенства, находим

Jdy=j(2x—3)dx; у=х² — Зх4-С.

Вычислим С при заданных значениях х=2 и у = 6. Подставив в выражение для функции эти значения, получим 6 = 2² — 3-2+С, откуда С= 8.

Итак, функция, удовлетворяющая заданным начальным условиям, имеет вид у=х²-Зх+8. ф

27. Найти J (cosx—sinx) dx, если при х=п/2 значение первооб­разной функции равно 6.

О Имеем J (cos х—sin x)dx=f cos xdx—Jsinxdx=sin x+cosx+C. Вычис­лим С при заданных начальных условиях: 6 = sin (я/2) + cos (я/2) + С, откуда С=5. Следовательно, первообразная функция >>=sinx+cosx+5. ф

27. Найти уравнение кривой, если угловой коэффициент каса­тельной в каждой ее точке (х; у) равен 2х.

dy

О Согласно условию, к—2х. Известно, что fc=tga=—; следовательно,

dy ^dX

—=2х, т. е. dy = 2хdx. Интегрируя, получим idy=(2xdx; у=х² + С.

dx

Мы нашли совокупность (семейство) кривых, для которых угловой коэффициент касательной в любой точке равен 2х. Эти кривые отличаются друг от друга на постоянное слагаемое С. При С=0 получим параболу у — х² с вершиной в начале координат, при С— 1—параболу у=х² +1 с вершиной в точке (0; 1), при С= —2—параболу у—х² —2 с вершиной в точке (0; —2) и т. д. (рис. 66). ф

27. Составить уравнение линии, ес­ли угловой коэффициент касательной в любой точке касания равен у/х.

у

О Согласно условию, к=~; так как

х

dy dy у к=—, то —=—, откуда, разделив перемен­ах dx х , dy dx

ные, имеем —=—. Интегрируя, находим

у х

ln^=lnx+ln С.

№

Произвольную постоянную полагаем равной In С для удобства упроще­ний. Потенцируя, получим у = Сх—уравнение семейств прямых, проходящих через начало координат, ф

27. Найти уравнение кривой, проходящей через точку А (0; 1), у которой касательная в любой точке кривой имеет угловой коэффициент, равный ординате точки касания.

dy dy

О Согласно условию, имеем к=—=у, т. е. —=dx. Интегрируя, получим

dx у

1п^=х+С.

Из начальных условий находим In 1=0+С, т. е. С=0; следовательно, у=е^х. ф

27. Найдите функцию: 1) производная которой у' = 4х³ —2х-+3;

дифференциал которой dy = (2x + 6)dx.

27. Найдите функцию: 1) производная которой у' = 2х—5, если при х= — 3 эта функция принимает значение, равное 28; 2) обращаю­щуюся в нуль при х = 0, если / = Зх²-4х+5; 3) производная которой у' = 3е^х + 2х, если при л:=0 эта функция принимает значение, равное 8.

28. Найдите: 1) J(sinx+3cosx)dx, если при х=я первообразная функция равна 4; 2) J(cosx—e^x+2x)dx, если при х = 0 первообраз­ная функция равна 3.

29. Найдите уравнение кривой, если угловой коэффициент касательной в каждой ее точке (х; у) равен: 1) — Зх; 2) х+2.

30. Составьте уравнение кривой, если угловой коэффициент касательной в каждой ее точке равен: 1) — у/х; 2) х/у; 3) —х/у.

31. Найдите уравнение кривой, проходящей через начало коорди­нат, если угловой коэффициент касательной в любой точке кривой равен х/3.

32. Найдите уравнение кривой, проходящей через точку М(\; 4), если угловой коэффициент касательной к кривой в каждой ее точке равен Зх² — 2х.

33. Составьте уравнение кривой, проходящей через точку А(— 1; 3), если угловой коэффициент касательной в каждой точке кривой равен утроенному квадрату абсциссы точки касания.

34. Найдите уравнение кривой, проходящей через точку А (0; е), если угловой коэффициент касательной к кривой в любой ее точке равен у.