§ 6. Смешанные задачи

24. Найдите дифференциалы первого порядка следующих функ­ций:

1. у = е^хsinx; 2) у = а^хе^х; 3) y^e^x-Jlx\

4) у=(е^х-е *)¹; 5) У=-р—_}\ 6) У=-^г-

24. Вычислите приближенные значения приращенйй функции:

1. у—sin2д: при х=к/6 и Дл:=0,02; 2) у = 1пх² при х = 20 и Дх=0,01; 3) j = arcsinx при х = у/з/2 и Дх=0,02.

24. Вычислите приближенные значения функций: 1) f(x) = x² + +x²+x+l при х = 0,001; 2) f (х) = х*—\ при х= — 3,3; 3) /(*) = = х/_ч/х³ + 3 при jc= 1,1.

25. Найдите относительную погрешность при вычислении ве­личины, заданной уравнением: 1) у=х² при х=10 и Дл: = 0,01;

2. у = х³ при х = 3 и Дх=0,02.

24. Составьте формулы для вычисления относительных погреш­ностей функций: 1) у = sin²3x; 2) y=tg²x.

25. Составьте формулы для вычисления относительных погреш­ностей функций: 1) y = e^sin2x; 2) у = З^у/х.

ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА

1. вариант

1. Вычислите дифференциал функ­ции >>=lncos¹x при х=п/4 и </х=0,01.

2. Вычислите относительную по­грешность функции F=(4/3)nR³ при Я=300 и dR=0,3.

3. Найдите приближенное значе­ние приращения функции у — х^ъ—х²

при х=2 и Ах=0,01.

4. Найдите приближенное значе­ние функции/(лг)=лг³ — лг²-Ьлг—3 при x=3,03.

5. Вычислите приближенное зна­чение величины 1/0,998.

2. вариант

1. Вычислите дифференциал функ­ции jh=In tg 2хг при jc=7с/8 и dx—0,03.

2. Вычислите относительную по­грешность функции у=х³ при х=750 и dx=0,5.

3. Найдите приближенное значе­ние приращения функции у=2^/х +4 при х = 25 и Ал: = 0,01.

4. Найдите приближенное значе­ние функции f(x) = Зх²—х² + 5х—1 при jc=3,02.

5. Вычислите приближенное зна­чение величины (1,02)³.

Глава 11 неопределенный интеграл

)

§ 1. Основные формулы интегрирования. Непосредственное интегрирование

Совокупность первообразных для функции / (х) или для дифференциала / (х) dx называется неопределенным интегралом и обозначается символом j/ (х) dx. Таким образом,

J/ (х) dx=F(x) 4- С, если d [/’(х) 4- С] =/ (х) dx.

Здесь / (х)— подынтегральная функция; f(x)dx—подынтегральное выраже­ние; С—произвольная постоянная.

Приведем основные свойства неопределенного интеграла.

1°. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:

\dF(x) = F(x)+C.

2°. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

d\f(x)dx=f(x)dx, =/(*)•

3°. Неопределенный интеграл алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов этих функций:

1. [/(*) +Ф (*)] ^dx=if(^x) ^dx+$ Ф М ^dx-

4°. Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выно­сить за знак неопределенного интеграла:

Jaf (х)dx = a$f (х)dx. ■

5°. Если Jf (x)dx=F(x) +С и н=(р (х)—любая известная функция, имеющая непрерывную производную, то

\f(u)du=F(u) + С.

Основные формулы интегрирования (табличные интегралы)

|йЬс=л:+С;	(11.1)
jc"+1
xndx= -+С {пФ-\)\ л+1	(11.2)
Cdx —=ln|jc|+C;	(11.3)
I axdx=—l-C; J Ina	(11.4)
$exdx=ex+C;	(11.5)
j" sin jc — cosjc+C;	(11.6)
J cos x dx=sin x+C;	(11.7)
f Л —г-=tg x+C; J cos X	(11.8)
Г dx -^-5—=-ctgx+C; J sin x	(11.9) 189

x²—a² 2 a dx

I

yjx²±a²

x+a

= ln|jc+₄/jc²±e² | + C; (11.11)

dx 1 =—In

I:

dx x

= arcsin -+C; (11.12)

2 a

y/a*=Z-

I:

dx 1 x

j—-j=-arctg -+C. (11.13)

x+a a a

При применении формул (11.3), (11.10) и (11.11) знак абсолютной величины пишется только в тех случаях, когда выражение, стоящее под знаком логарифма, может иметь отрицательное значение.

Каждую из формул легко проверить. В результате дифференцирования правой части получается подынтегральное выражение.

2. Непосредственное интегрирование. Непосредственное интегрирование основано на прямом использовании таблицы интегралов. Здесь могут представиться следующие случаи:

1. данный интеграл находится непосредственно по соответствующему табличному интегралу;

2. данный интеграл после применения свойств 3° и 4° приводится к одному или нескольким табличным интегралам;

3. данный интеграл после элементарных тождественных преобразований над подынтегральной функцией и применения свойств 3° и 4° приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

Найти следующие интегралы:

1} 2) f6x²dx- 3) $4(x²-x+3)dx;

О 1) На основании свойства 4° постоянный множитель 5 выносим за знак интеграла и, используя формулу (11.1), получим

15dx=5 $dx=5x+C.

2. Используя свойство 4° и формулу (11.2), получим

\6х²dx=6 \x²dx=6 \-С=2х³ + С.

J J 2+1

Проверка: d(2x³ + C) = 6x²dx. Получили подынтегральное выражение; следовательно, интеграл найден правильно.

3. Используя свойства 3° и 4° и формулы (11.2) и (11.1), имеем

х³ х² 4

=4 •——4* — + \2х+С=-х³ — 2х² + \2х+С.

Постоянная интегрирования С равна алгебраической сумме трех постоянных интегрирования, так как каждый интеграл имеет свою произ­вольную постоянную (Ci — С₂ + С_ъ = С).

190

4. |2(3x— \)²dx=j (18x² — 12x+2) dx= 18 f x² dx—12 (xdx+2 f dx=6x³ —

6x ² 4" 2x 4" C.

5. J—— ——dx—j*(x² + 3x4-4)</x=j*x²</x+3Jxtf£x+4Jd!x=^x³4-

xx² + 4x + C. ф

^i,) J*^{_4л; 2)}If-

О Используя формулу (11.2), находим:

1. 1^7‘г"“^Л‘^ЙТТ’^г*^,"^+с‘²^^+с' *

LjJS; ₂₎J^_; 3

О 1) По формуле (11.3) находим

. 1+С.

J ^х

2. Так как dx=d(l+x), то

hx), ТО

Г dx f</(l4-x)

—— = ————In11 +x 4-С. J 14-x J 14-x

2. Так как xdx=^d(x²+1), то

Знак абсолютной величины не пишем, так как при любом значении х выражение х² + 1>0. #

4. 1) J2^Xdx\ 2) J2^х2xdx; 3) \e~^3x2xdx.

1

О 1) По формуле (11.4) при я = 2 получим

2^х

2^xdx=—~ 4-С. In 2

2. Так как х</х=(1/2)*/(х²), то

Г Г 1 if 1 2^х2 2^х2-1

j **,*- j 2--<^)=- j 7*^).--- +С=— +С.

2. Так как xdx= — (l/6)d( — Зх²), то

Je“^3x2x<*x= — ^Je^_3x2<i(—Зх²)= — ^е^-3х2 + С. •

4. 1) J sin (ax+b)dx; 2) jcos(5x—3 )dx; 3) J tg xdx.

О 1) Так как d(ax+b) = adx, то dx=(\/a)d(ax+b). Следовательно,

f 1 If

I sin (ax+b)--d(ax + b)=- si

J ^{a a}J

к как (\/5)d(5x—3' J*cos(5x—3)flfx=^ |*^cos (5*

Ilf 1

sin (ax+b)'-d(ax + b)=- sin (ax+b)d(ax+b) = cos (ax b) +C.

2. 3) d (5л:—3)=- sin (5л:—3) + C.

   Так как (\/5)d(5x—3) = dx, то cos (5л:—3) dx

3. Так как sinx^ = — d(cosx), то

Г fsinxflfx Г d (cosx)

tg х dx= I =— I — — In |cosx| + C. ф

J J cos x J cos x

6. „ fj* ; ₂, f ₃₎ f * ; 4)

J cos² у J cos² x³ J 2 sin² z J sm² (.

(x²+l)

PM

J cos у J

О 1) По формуле (11.8) находим

dy

2. = 5tgy+C. cos^z у

2. Так как d(x³)=3x² dx, to x²dx=-d(x³). Следовательно,

\-

J COS'

x² dx if d(x³) 1

x³ 3j;

=-tgx³ + C.

COS^AX^J

2. По формуле (11.9) находим

f—-- Г

J 2 sin² z 2 J :

dz 1

-CtgZ+C. sin^z z 2

2. Так как x</x=(l/2)<i(x²+1), то

Г xdx _1 Г rf(x Jsin²(x² + l) 2Jsin²(.

;^и)^=_Ь‘^8(х2+1)+с- •

I У*²+4

*• « Ш ^{2) 3}> Й*

О 1) По формуле (11.12) находим

¹ У*²+4

О 1) По формуле (11.10) получаем

х—2

Г dx С dx 1

J х²—4 J х² — ₂² 2*2

2) По формуле (11.11) находим dx

7.»^; 2,J

=1п\х+^/х² + 4 | +С.

fl?X . X

, = arcsin - + С.

3

dx

х—2

+ С=-1п 4

+ С.

х+2

х+2

I;

dx

25+4х

1