§ 5. Вычисления по способу строгого учета погрешностей

При вычислениях нередко возникает необходимость знать границы допущенной погрешности промежуточных вычислений и окончательного результата. Такой способ ведения приближенных вычислений называется способом строгого учета погрешностей. Для этого необходимо знать, как вычисляются границы относительных погрешностей алгебраической суммы, произведения, степени, корня и частного.

20. Доказать, что относительная погрешность произведения не превышает суммы относительных погрешностей ее сомножителей.

dy du dv у U V

О Пусть дана функция y=uv, где м=/(х) и t? = <p(x). Прологарифмируем ее и найдем дифференциал:

In y = lnw + lnt;; — У

Так как абсолютная величина суммы не превышает суммы абсолютных величин слагаемых:

du dv		du		dv
1—		—	+	—
и V		и		V

то

dy	=	du	+	dv
У		и		V

du		dv
—	+	—
и		V

е(ш?)=

21. Доказать, что относительная погрешность частного не превышает суммы относительных погрешностей делимого и де­лителя.

О Пусть дана функция y=u/v, где u=f(x) и u = (p(jc). Прологарифми­ровав и взяв дифференциал от функции y=u/v, получим

dy du dv

\ny = \nu—\nv, —= .

у и V

Так как абсолютная величина разности не превышает суммы абсолютных величин уменьшаемого и вычитаемого, то

dy		du	+	dv	(и\ , ИЛИ 8 - =	du	+	dv
У		и		V	\VJ	и		V

22. Доказать, что относительная погрешность степени равна относительной погрешности основания, умноженной на показатель степени.

О Пусть дана функция у=х^п. Прологарифмируем ее и найдем дифференциал:

dy dx ту=птх; —=п—.

у х

/ \ ^х

Относительная погрешность равна е(лг")=л—.

Частные случаи: 1) я = 2, е(х²)=2—; 2) л = 3; е(д:³)=3—. •

х х

23. Доказать, что относительная погрешность корня равна относительной погрешности подкоренного числа, деленной на показатель степени корня.

О Пусть дана функция у = \[х. Прологарифмируем ее и найдем дифференциал:

1. dy 1 dx

ln^=-ln jc; —= .

n у n x

Относительная погрешность равна s(^/x)=^

Частные случаи: 1) п = 2, 6^/*)=^ —; 2) л = 3, е(1/х)=\—. ф

х 3 х

24. Найти относительную погрешность числа х при вычислении этого числа по его логарифму у = lgx.

О Пусть lg* был вычислен с погрешностью Ау, тогда при нахождении по нему числа х будет допущена погрешность Ajc. Относительная

погрешность числа jc равна —.Так как абсолютная погрешность логарифма

х

Ах

Ау& 0,4343—, то

х

Ах Ау

х 0,4343

Таким образом, относительная погрешность числа л: при вычислении его по его логарифму не зависит от значения числа х, а зависит только от погрешности, с которой был найден логарифм числа х. ф