§ 3. Вычисление приближенного числового значения функции

Пусть дана функция y=f(x); приращение этой функции Ay=f(x+Ax)— —/(jc), ее дифференциал dy=f'(x)dx. При достаточно малых (близких к нулю) приращениях аргумента Ах будем считать, что Ay&dy, т. е. что приращение функции приближенно равно ее дифференциалу.

Заменив приращение функции ее дифференциалом, получим

/' (х) dx «/(х+Ах) —/(х),

откуда

/(х+Ах)«/(х)+/'(х)Ах. (10.3)

Применение этой формулы дает значительное упрощение вычисления числового значения функции; геометрически это соответствует замене участка кривой отрезком касательной.

8. Найти приближенное значение приращения функции у= = 2jc ³ + 5 при х = 2 и Ад: = 0,001.

О Имеем Ay&dy = 6x²dx=6 *2² 0,001 =0,024. Точное значение при­ращения

А_у = 2 (х+Ах)³ + 5 — 2х ³ — 5 = 6х ² Ах+6х (Ах)² + 2 (Ах)³ =

= 6 • 4 • 0,001 + 6 • 2 • 0,000001 + 2 • 0,000000001 =0,024012002. ф

9. На сколько увеличится при нагревании объем шара радиуса R, если его радиус удлинился на величину АЛ?

О Объем шара вычисляется по формуле V=(4/3)тс/?³. Считая прира­щение AR аргумента R малым, заменим приращение объема шара его дифференциалом: AV&dV. Следовательно, для вычисления приращения объема шара достаточно найти дифференциал функции K=(4/3)tlK³, т. е. dV=4nR²dR. •

10. Найти приближенное значение функции /(jc) = 5jc³ —2х+3 при

х = 2,01.

О Полагая х=2 и Ах = 0,01, получим

/(х)=/(2)=5 *2³ —2 *2+3 = 39;

/' (х)Ах=/ (2) * 0,01 = (5х³ —2х+3)'Ах=(15х² —2)Ах=(15 *2²—2)0,01 =0,58.

По формуле (10.3) находим /(2,01) = 39+0,58 = 39,58.

Найдем точное значение функции: /(2,01) = 5 • (2,01)³—2*2,01 +3 = = 39,583005. •

11. Найдите приближенные значения приращений функций:

у=Зх² + 5х+1 при х = 3 и Ах = 0,001; 2) у=х^ъ +х— 1 при х—2 и Ах = 0,01; 3) у=\пх при 10 и Ах = 0,01.

12. На сколько увеличится при нагревании объем куба с ребром 10 см, если удлинение ребра равно 0,02 см?

13. Найдите приближенные значения функций: 1) /(х) = 2х² —

—х+1 при х = 2,01; 2) /(х)=х² + Зх+1 при х=3,02; 3) /(*) = = (1/3)х³+(1/2)х² —2х+4 при х= 1,1.

§ 4. Формулы для приближённых вычислений

Применяя формулу (10.3), легко получить различные формулы для нахождения приближенных числовых значений. Ниже рассмотрим формулы, имеющие практическое значение в приближенных вычислениях.

Формула для приближенного вычисления степеней:

(10.4)

(х+Ах)"«х"+ях" ¹Ах.

Частные случаи формулы (10.4):

1) п — 2, (х + Ах)²«х² + 2хАх; 2) п — 3, (х+Ах)³«х³ + Зх²Ах; 3) jc= 1, (1 +Ах)"« 1 +пАх.

Формула для приближенного вычисления корней:

(10.5)

\/ х+Ах&п/х-\ . .

пух^{п 1}

Частные случаи формулы (10.5):

п — 2, у/х+Ах&у/х+ ^{Х 1}

^/1+Дх«1+—.

п

Формула для приближенного вычисления обратных величин:

(10.6)

_!_~1 ^Ах х+Ах х х²

1) Ах<0,

1—Ах; 3) х = 1 и Ах<0,

1 1 Ах

1 + Ах

1. 1 — Ах

   + Ах.

Формулы для приближенного вычисления синусов и тангенсов малых углов:

sin Ах* Ах; tgAx*Ax.

14. Найти приближенные значения: 1) (4,012)²; 2) УйООб;

1/1,004.

О 1) Полагая в соотношении (10.4) х=4, Ах=0,012, получим (4,012)² = =(4+0,012)²*4²+2-4 0,012=16,096*16,1 (точный ответ 16,096144)

1. Полагая в соотношении (10.5) х=1, Ах=0,006, получим у/1,006 = = ,/1+0,006* 1+0,006/2= 1,003.

2. Полагая в соотношении (10.6) х=1, Ах = 0,004, получим 1/(1+0,004) = = 1-0,004 = 0,996. ф

15. Вычислить sin 12'.

О Так как 12'=0,0035 рад, то sin 0,0035=0,0035. По таблице натураль­ных значений синуса находим sin 12'= 0,0035. ф

16. Найдите приближенные значения степеней: 1) (9,Об)²; 2) (1,012)³;

2. (9,95)³; 4) (1,005)¹⁰; 5) (0,975)⁴.

17. Найдите приближенные значения корней: 1) \/1,012;

1. У25Л6; 3) У^84; 4) /КН; 5) ^9^5; 6) i°/W

18. Найдите приближенные значеййя величин: 1) 1/0,99; 2) 1/9,93;

2. 1/(1,004)².

19. Вычислите: 1) sin42'; 2) sin2°06', 3) tgl°12'; 4) tg3°18'.