Глава 10 дифференциал функции. Приложение дифференциала к приближенным вычислениям

§ 1. Вычисление дифференциала функции

Дифференциалом функции y=f(x) (или дифференциалом первого порядка) называется произведение производной этой функции /'(*) на произвольное приращение аргумента Ajc:

dy=f'(x) Ах.

Дифференциал аргумента равен приращению аргумента: dx — Ах. Поэто­му дифференциал функции равен произведению ее производной на диф­ференциал аргумента:

dy=f'(x)dx. (10.1)

Дифференциалом второго порядка называется дифференциал от диффе­ренциала первого порядка:

d²y=f"(x)dx², (10.2)

т. е. дифференциал второго порядка функции y=f(x) равен произведению второй производной этой функции на квадрат дифференциала аргумента.

1. Найти дифференциалы первого порядка следующих функций: 1) у=(х³-2)⁴; 2) у=у/х²-1; 3) ^lnsin^*.

О Воспользуемся соотношением (10.1):

1. dy=((x³ — 2)*)'dx=4(x³—2)³ • 3x²dx=\2x²(x³ — 2)³ dx;

2)

dy=(In sin у/х)'dx=—cosVx-—^—dx=^ ф

sin yfx 2 yfx 2 y/x

2. Найти дифференциалы второго порядка следующих функций:

1. у=In sin² 2х; 2) у = е~^х.

О Воспользуемся соотношением (10.2):

1. 1 8

у'——^—-2sin2xcos2A:-2=4ctg2x; у" = —4 • . , ■ -2=—. ; sin² 2* sin² 2х sm 2х

»2 п_А 2 ^МХ2 1 2

d у—у dx — —-r^rr-dx , sin^ 2х

1. у'=—е ^х; у"— е ^х\ d²y=y"dx² = e ^Xdx². ф

3. Найдите дифференциалы первого порядка следующих функ- ций: 1)>>=(1-х²)⁵; 2) у=(ах² + Ь)^г; 3) y=_s/4-2x¹\ 4) y=l/y/2x-l;

j=lncos²x; 6) j;=ln(l/_N/x); 7) j>=arccos;*:²; 8) y=arcctg(l/x).

4. Найдите дифференциалы второго порядка следующих функ­ций: 1) у = lncos²*; 2) у = \ntg2x; 3) у=а^Ъх\ 4) j> = arccosx; 5) у= = arctgx².

§ 2. Абсолютная и относительная погрешности

Рассмотрим функцию у=/(х). Предположим, что величина х получена непосредственным измерением или в результате приближенного вычисления. Тогда при нахождении величины х мы допускаем не зависящую от нас погрешность А*.

Пусть х—приближенное значение аргумента (измеряемой величины),

Ах—абсолютная погрешность величины х, относительная погрешность

л;

величины х, а х+Ах—истинное значение измеряемой величины (Ад: может быть как положительным, так и отрицательным числом).

Тогда х определяет приближенное значение функции /(х), а х+Ах—ее истинное значение /(х+Ах), откуда следует, что абсолютная погрешность функции

1I = 1/(х +Ах)—/(х) |.

При малых значениях Ах (близких к нулю) величину Ау можно приближенно заменить дифференциалом dy:

Ay=f(x+Ax)—f(x)&f'(x)dx=dy.

Выгода замены приращения функции Ау ее дифференциалом dy состоит в том, что dy зависит от Ах линейно, а Ау представляет собой обычно более сложную зависимость от Ах.

Полагая Ay&dy, получим выражение для относительной погрешности 8 величины у:

5. Сравнить относительные погрешности при вычислении площа­ди круга радиуса г=125см, считая, что абсолютная погрешность равна: 1) приращению площади круга; 2) дифференциалу площади круга.

О 1) Находим приращение AS площади круга и относительную

№ 2 ^

погрешность — при вычислении площади круга S=nr^z. Будем считать, что

S

погрешность при измерении радиуса не превышает +0,5 см. Имеем

A.S=7i(r+Ar)² —71г² = я(2гАг+(Аг²))=я(2 • 125 *0,5+0,25)= 125,25л;

AS 125,25л

—= ^=0,008016*0,8%.

S 71 • 125

dS

2. Найдем дифференциал dS и относительную погрешность — при

S

вычислении площади круга:

dS 2nrAr dr

dS=2nrAr=2n • 125 *0,5= 125л; —= =-=2 ■—.

S nr² г

Значит, относительная погрешность при вычислении площади круга равна удвоенной относительной погрешности, полученной при измерении радиуса:

dS dr 0,5

Т 7 Тй

Итак, видим, что во втором случае вычисление было значительно проще и выполнено без ущерба для точности вычисления.

Определим относительную погрешность приближения при замене приращения AS дифференциалом dS:

AS-dS 0,25к

AS—dS= 125,25л -125тс=0,25л:; ———==0,002 = 0,2%.

dS 125те

Относительная погрешность приближения составила всего 0,2%. ф

6. Найдите относительную погрешность при вычислении длины окружности, если г = 50 см, Дг = 0,5 см.

7. Найдите относительную погрешность при вычислении вели­чины, заданной уравнением у=х³, если х — 2 и Ах=0,01.