296. Имеют ли наибольшее и наименьшее значения функции: 1) y=tgx; 2)y=|tg*|; 3) y=tg²x?

297. Найдите наибольшее и наименьшее значения функций:

1. j;=4 + sin(x—я/12); .2) у = 6 — sin²x; 3) ^ = 5 — 3|sinx|.

296. Найдите множества значений функций: 1) j;=sin х+cosx;

2. j; = 3sinx+₄/3cosx; 3) }> = sinx—^/зcosx (см. задачу 235).

296. Исследуйте с помощью производной и сформулируйте основные свойства функций: j; = sinx, у = cosx, y = tgx, y = ctgx.

§ 29. Построение графиков тригонометрических

ФУНКЦИЙ

296. Построить графики функций: 1) >> = ,4sinx; 2) j=sin(x+a);

3. ^=sina)x.

О 1) Если А>0, то данная функция имеет те же промежутки возрастания и убывания, что и sinx, наибольшее значение функции равно А, а наименьшее равно —А. График получается растяжением синусоиды >>=sinx в А раз от оси абсцисс. Такое преобразование называется преобразованием амплитуды. На рис. 60 изображены графики функций >>=sinx, у=2sinx, >>=(1/2)sinx.

2. 

   

   Рис. 60

   График данной функции получается

y-sin х

Рис. 61

из графика функции у=sinx параллельным переносом начала координат в точку ос; 0). Такое преобразование называется сдвигом фазы. На рис. 61 изображен график функции ;; = sin(x—я/4).

2. Наибольшее значение этой функции равно 1, а наименьшее равно — 1; период равен 2 тс/со. Полагая со= 1, ю=2 и со = 1/2, построим графики функций y=sinx, >>=sin2x и >>=sin(x/2).

График функции у = sin2x (период Т—п) может быть получен путем «сжатия» синусоиды у = sinx вдоль оси абсцисс в два раза. Аналогично, график функции >>=sin(х/2) (период Т=4п) может быть получен путем «растяжения» синусоиды у=sinx вдоль оси абсцисс в два раза. Такое преобразование называется преобразованием периода. Графики изображены на рис. 62. ф

У
	_ у-COS X X'N /fain я
ЪСУ \/7	чУ!/’ \\А ''А'?5'
XJ \/f	\У \J-r-cosZx y*l+cos2x
\ / ЧУ Л /	\j \J y4H0S2x \ /~\ f u= . г

Рис. 62

y=sinx+cosx у = sinx

296. Построить графики функций:

\		/
>	a Рис. 65	В

1) j^sinx+cosx; 2) y=cos²x.

О 1) Преобразуем данную функцию следующим образом:

у=sin х 4- cos х=у/2 sin (х 4- п/4).

График изображен на рис. 63.

2. Запишем данную функцию в ви­де у=cos² х=(1 /2) (1 + cos 2х). Последо­вательность построения графика видна на рис. 64. ф

Постройте графики функций:

296. 1) >>=3sinx; 2) j; = 2cosx; 3) j>=(— l/3)sinx.

297. 1) >>=sin(x—я/6); 2) у=cos(x4-я/3); 3) y=tg(x—я/4).

298. 1) у—cos2x; 2) y=cos(x/3); 3) >> = tg(x/2).

299. 1) y=sinx—cosx; 2) j; = sin²x.

§ 30. Смешанные задачи

296. Открытый желоб в сечении имеет форму равнобедренной трапеции (рис. 65), основание и боковые стороны которой равны а. Чему равен угол наклона а стенки желоба к его высоте, проведенной из вершины тупого угла, при наибольшей пропускной способности желоба?

Найдите производные следующих функций:

296. 1) 7 = (l/3)sin³x—sinx; 2) j; = cos(x4-tf)sin(x—a).

297. 1) y= — ; 2) y=tg2x—ctg2x; 3) j>=tg²2x+ctg²2x.

tg Зх— 1

296. 1) y=lnctgx; 2) /(x) = lnsin(x/3); вычислите /'(я/2); 3) y= = In cos² X.

297. 1) v = ln / ~^^C0S*; 2) v = lnsin²(x— 1); 3) w=lntg²z².

yj 1 — COS X

296. 1) s = \ne^sin2t; 2) j; = e^sinxcosx; 3) >>=e^tgxcos²x.

297. 1) y=SLTCCOSy/\— x²; 2) w=arcctg-j-^; 3) j;=arctg₄/x4- + arcctg yfx.

! g^x с ~ ^x / "

296. 1) j;=arccos_>/l— e^2x\ 2) y=arcsin^^^; 3) y = SLrctgy/e^x— 1.

ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА

вариант II вариант

Вычислите производные при за- Вычислите производные при за­

данных значениях аргумента: данных значениях аргумента:

1. /(x)=sin²lne^x, /(0); 1) /(.*)=In tg² 2х, /(я/8);

2. f(x)=3 In у/ cos 2х, /' (я/8); 2) /(*)=2 In yiin~2x, /' (я/8);

3. f(x)=arccos y/x, /'(1/2);

4. /(*) = 8 sin²* cos л:, /'(я/4).

5. Точка движется прямолиней­но по закону s=sin²/. Найдите мо­мент времени t, когда ее ускорение равно 1.

2. /(*)=arctg е *, /'(0);

3. /(x)=sin2jc(l+cos2x),/'(я/4).

4. Точка движется прямолиней­но по закону 5=sin²/. Найдите мо­мент времени /, когда ее ускорение равно нулю.