§ 27. Гармонические колебания

Если точка М движется по окружности радиуса R (рис. 59) с постоянной угловой скоростью со, то проекция Р точки М на ось Оу совершает по этой оси колебательное движение по закону

y = Rsin((dt+Q). (9.80)

Движение точки Р называется простым гармоническим колебанием. Вели­чина R (амплитуда колебания) выражает макси­мальное отклонение колеблющейся точки Р от начала координат; со—угловая скорость точки М в радианах в секунду; t—время в секундах, за которое точка М перемещается из положения М₀ в положение M_t\ 0—начальная фаза коле­бания.

При /=0 радиус-вектор ОМ₀ образует с осью Ох угол 0. Через t секунд радиус-вектор повернется на угол со/ и образует с осью Ох угол со/4-0. Следовательно, проекция точки, равномерно движущейся по окружности радиуса R с угловой скоростью со, совершает гармони­ческие колебания с амплитудой R и начальной фазой 0.

Время Г, в течение которого точка Р пройдет через все свои фазы, а точка М совершит один полный оборот по окружности, называется периодом

гармонического колебания, т. е. Т есть период функции j>=i?sin (ю/+0). Так как точка Р за время Т совершает один полный оборот, т. е. описывает дугу 271 радиан, то за единицу времени она опишет угол со, равный 2л/Г радиан; поэтому угловая скорость

оо=2тс/Г. (9.81)

Отсюда следует, что

Т = 2я/ю. (9.82)

Величина, обратная периоду колебания Г, т. е. 1/Г=оо/(2я), называется частотой колебания. Частота¹ колебания показывает число колебаний л, совершаемых точкой в секунду:

Г=1/л. (9.83)

272. Составить уравнение гармонического колебания, если ам­плитуда равна 10, период равен 0,5 с, а начальная фаза равна 1,5.

О По формуле (9.81) находим со=2тг/0,5 = 471. Подставляя /?=10, 0=1,5, со=4к в равенство (9.80), получим у= 10sin(4Ttf+1,5). ф

272. Найти период, амплитуду и начальную фазу следующих функций:

1. j>=3sin^2x-^; 2)j>=—3sin|; 3) y=cos^-2xj.

О 1) Здесь R = 3, со=2, 0=—71/6. Период Т находим из соотношения (9.82), т. е. 7=271/2=тс.

2. Здесь /? = | —31 = 3, со=1/3, Т=2п: (1/3) = 6п. Для вычисления началь­ной фазы запишем данную функцию в виде у=3 sin^+7i^, откуда 0 = я.

3. Преобразуем данную функцию следующим образом: у=cos 2xj =

= sin^“^“2;t^ = sin^2A:+^, откуда 0=тс/4, Л=1, оо=2, Т=2п/2 = п. ф

272. Составьте уравнение гармонического колебания, если ам­плитуда равна 5, частота колебания равна 3, а начальная фаза рав­на 0,8.

273. Найдите период, амплитуду и начальную фазу следующих функций: 1) у = 2sin^3jt+^; 2) y^sm^nx—¹^; 3) у = sin(jt—5).

274. Материальная точка массы m совершает простое гармо­ническое колебание по закону .s = 5sin^f+^. Найдите силу F, под действием которой точка совершает это движение в момент t=0. 295. Приведите к виду Л sin (со*+0) выражения: 1) 12sin2f + + 5cos2f; 2) 8sin(5jt+rc/6)—15cos(5x+7i/6) (см. задачу 235).

296. Найдите амплитуду и начальную фазу сумм следующих гармонических колебаний: 1) ^ = 3 sin (г/2) и >>₂ = 5sin(?/2); 2) = =2sin2? и >’₂=2sin(2г+я/3); 3) у₁sin5t и y₂ — _s/2cos5t.

§ 28. Основные свойства тригонометрических функций

296. Найти области определения функций: 1) у= 1/sin х; 2) у= = 1/(1 — cos jc); 3) j=tg4x; 4) ^=l/ctgx.

О 1) sin*#0, хФтск;

2. 1— cosx#0, cosx#l, хФ2пк;

2. 4хФп/2+пк, хфп/8 + пк/4;

4. ctg*#0, хФк/2 + пк, кроме того, хфпк, следовательно, хфпк/2. #

296. При каких значениях аргумента принимают наибольшее и наименьшее значения функции: 1) >>=2 sin Зх; 2) ^ = (1/2)cos 2x1

О 1) Имеем sin3*=l, Зх=п/2-\-2пк, значит, при х=п/6+2пк/3 функ­ция принимает наибольшее значение, равное 2. Аналогично, sin3x= — 1, Зх= —тс/2 + 2пк, т. е. при х= — п/6 + 2пк/3, функция принимает наименьшее значение, равное —2.

2. Имеем cos2x= 1, 2х=2пк т. е. при х=кк функция принимает наибольшее значение, равное 1/2. Аналогично, cos 2х = — 1, 2х=п(2к+1), т. е. при х=(к/2)(2к+1) функция принимает наименьшее значение, равное -1/2. •

296. Найдите области определения функций: 1) у = 1/sin л:²; 2) у= = tgx/sinx; 3) у=sinx/tgx; 4) у=ctg3x; 5) у=(\ + sinx)/cosx.

297. Найдите области определения функций: 1) ^=tgxctgx;

}> = cosx+ctgx; 3) у= 1 / (sin х+cosx); 4) у= 1 /(sin²x—sinx);

5. }> = ctgx/(sinx—cosx).

296. При каких значениях аргумента принимают наибольшее и наимецьшее значения следующие функции: 1) jy=sin (х— 1); 2) у = = cos(tc/4+x); 3) }>=3sin4x; 4) j; = (l/2)cos5x?

297. Найдите множества значений функций: 1) ^=sin|x|; 2) у= = |sinx|; 3) >>=cos|x|; 4) }> = |cosx|.

298. В каких границах могут изменяться функции: 1) у= 1—sinx;

j = 3 + sinx; 3) у=2—cosx; 4) }>=5+cosx?