§ 25. Производные обратных тригонометрических

ФУНКЦИЙ

Формулы дифференцирования

При условии М = ф(х)	Номер формулы	При условии и=;с	Номер формулы
(arcsin и)' ! и': у/\-и2 \и\<\	(9.76)	(arcsin jc )' = ! , J\-X2 \х\<1	(9.76а)
(arccos и)'= —и’, у/l-и2 \и\<1	(9.77)	(arccos х)'= ! , у/\~Х2 |дс|<1	(9.77а)
(arctg и)'=1+и,н'	(9.78)	(arctgx)'=i+jc2	(9.78а)
(arcctg и )'= 1+и2«'	(9.79)	(arcctg х)'= 1+х2	(9.79а)

Найти производные следующих функций:

272. 1) /(х) = 5arcsinх—3arccosх; вычислить /'(^/3/2); 2) /(х) = = 3 arctg х—2 arcctg jc; вычислить /'(2).

О 1) Используя формулы (9.76а) и (9.77а), получим

2. По формулам (7.1), (9.78а) и (9.79а) находим

''М=Т^⁺н^=нЬ^; •

272. 1) ;; = arcsin2x; 2) д;=arccos>/2х; 3) }>=arcctg3x.

О 1) По формуле (9.76) получим

у'= ■¹—. (2х)'= ¹ -2= ² ■

-у/1 —(2jc)² yj\ — 4х² y/l—4x²

2. По формуле (9.77) получим

у'= ¹ . (у/2х)'=—jL=z-—^j=-2=

yj 1 — (_%/2х)² V1-2x 2^/2*

- 1 1 1

У1-2* ^2* ^/2^(1 —2jc)*

2. По формуле (9.79) находим

V'= ! (Зх)' = ^] 3= -— ф

^У 1 +(3дс)^{2 1}’ 1 +9х² 1+9х²‘ •

Найдите производные следующих функций:

272. 1) /(х) = 2arcsinx+arccosx; вычислите /^/(_ч/2/2); 2) /(х) = = 5 arcsin х + 2 arccos х; вычислите /'(1/2); 3) у = х (arcsin х+arccos х).

273. 1) }> = arcsin3x; 2) arccos(х/а); 3) >> = arcsinx²; 4) у= = arccos ах.

_х2__а2

272. 1) у = arcsin^/Зх; 2) >> = arccos^/х— 1; 3) у=arcsin

273. 1) /(х) = arctgx; вычислите /'(^/з); 2) у=х(arctgх+arcctgх).

274. 1) }> = arctgx²; 2) >> = arcctg3x; 3) }>=arctg (а/х); 4) у= = arcctg (х/а).

275. 1) 7 = arctg_x/x; 2) _<y = arctg(l/_x/x).

276. 1) y = arcctg j—; 2) >> = arcctg

§ 26. Вторая производная и ее приложения

272. Найти вторые производные функций: 1) ^ = sin²x; 2) у = = ln sin х.

174

О 1) У = 2 sin л; cos л:=sin 2х; >>"=cos2;c-2=2cos2;t;

= -cosx=ctgх; yⁿ =—7~т~‘ • sm* sirrx

272. Найти скорость и ускорение точки, движущейся прямо­линейно по закону 5 = 2 sin (nt/З), в момент времени t= 1.

ds nt п 2п nt

°”л-^2с“зГТ^с“з^;

, _ч 2п п 2п 1 п

d²s dv 2п . nt к 2к² . nt а=—г=—= ——sin — -= ——sin—;

dt² dt 3 3 3 9 3

_s 2n² . n 2n² yfl n²y/3

«(')—Г“з—Г'———• •

272. Найдите вторые производные функций: 1) у=cosx; 2) >>= = tgx; 3) j>=lncosjt; 4) у=lntgx; 5) ,s=e^cosr; 6) s=e~^sint.

273. В момент времени t= 1 найдите скорость и ускорение точки, движущейся прямолинейно по закону: 1) 5=sin (nt/4); 2) s= = —cos(tU/3).

274. Материальная точка массы т движется прямолинейно по закону s=— sin3f. Найдите силу F, под действием которой точка совершает • это движение в момент t=n/6.