§6. Вычисления с наперед заданной точностью

В предыдущих параграфах рассматривались прямые задачи, когда требо­валось оценить погрешность полученного результата по данным действиям над приближенными числами и по данным границам их погрешностей.

В обратной задаче требуется установить, каковы должны быть погрешности данных приближенных чисел, чтобы в результате вычислений была получена наперед заданная допустимая граница погрешности.

24. С какой точностью надо измерить длину стороны квадрата, чтобы при вычислении его площади граница абсолютной погреш­ности не превышала 1 см²? Грубое приближенное значение стороны квадрата равно 9 см.

О Так как S=a², то, используя формулу (2.8), получим AS=2a- Аа, откуда

AS 1

А а=—= =0,0556 «0,1 (см).

2а 2*9

Итак, если измерить величину а с погрешностью, не превышающей

0. 1 см, то погрешность площади не превысит 1 см². #

25. С какой точностью надо измерить длину ребра куба а, чтобы при вычислении его объема граница абсолютной погрешности не превышала 100 см³? Грубое приближенное значение ребра куба равно 80 см.

О Так как V=a³, то, используя формулу (2.9), получим АК=Зя²*Ая,

т. е.

AV 100 Аа=—~= -=0,005 (см).

За² 3*80 ^V '

Следовательно, если измерить величину а с погрешностью, не превышающей

0. 005 см, то погрешность объема не превысит' 100 см³. #

26. С какой точностью надо измерить радиус основания и высоту прямого кругового цилиндра, чтобы при вычислении объема цилиндра по формуле V=kR²H граница абсолютной погрешности А К не превышала 100 см³? Грубые приближенные значения равны R = 40 см и #=70 см.

27. С какой точностью следует измерить сторону квадрата, чтобы относительная погрешность не превышала 0,3%? Приближен­ное значение стороны квадрата 6 м.

§ 7. Решение прямоугольных треугольников с применением микрокалькулятора

1. Решение прямоугольного треугольника по гипотенузе и острому углу

28. Дано: с = 865, А = 38°,3. Найти: В, а, Ь.

О Вычислим угол В: 1?=90°—А=90° — 38°,3 = 51°,7.

Вычислим катет а. Подставив в формулу a=csmA числовые значения с и А, получим а=865 sin 38°,3.

865

38°,3

а=536.

Вычислим катет Ь. Подставив в формулу Ь—с sin В числовые значения, получим 6 = 865 sin 51°,7. Проделав те же операции, что и при нахождении катета я, находим /> = 679.

Алгоритм вычисления катета а:

Контрольное вычисление угла А: подставив в формулу tgA = a/b найденные числовые значения а и 6, получим tg А = 536/679.

Алгоритм вычисления угла А:

536

679

tg

arc

А = 38°,3.

Задача решена верно. Ответ: В=5\°,1, а = 536, 6 = 679. •

29. Дано: с = 358, Л = 5°,5. Найти: В, а, 6.

О Вычислим угол 2?: 2?=90° — 5°,5 = 84°,5.

Вычислим катет а: а = с sin А = 358 sin 5°,5 = 34,3.

Вычислим катет 6. Подставив в формулу 6=с sin В числовые значения, получим 6 = 358 sin 84°,5 = 356.

Ответ: В= 84°,5, а=34,3, 6 = 356. #

2. Решение прямоугольного треугольника по катету и острому углу

30. Дано: а=0,846, А = 39°,6. Найти: В, с, 6.

О Вычислим угол В: Я=90^о-Л = 90°-39^о,6 = 50°,4.

Вычислим гипотенузу с; подставляем в формулу с=a/sin А числовые значения: с=0,846/sin 39°,6.

Алгоритм вычисления гипотенузы с:

0,846

39°,6

с =1,327.

Вычислим катет 6; подставляем в формулу b=a/tgA числовые значения: b = 0,846/tg 39°,6.

Ь = 1,023.

Алгоритм вычисления катета Ь.

0,846

39°,6

F

tg

Контрольное вычисление угла В: sin5=b/с = 1,023/1,327. Алгоритм вычисления угла 5:

1,023

1,327

sin

arc

Д=50°, 4.

Задача решена верно. Ответ: 2?= 50,4, с =1,327, 6=1,023 #

3. Решение прямоугольного треугольника по гипотенузе и катету

31. Дано: с = 8,93, а = 4,76. Найти: А, 5, 6.

О Вычислим угол у4; подставляем в формулу sin А = а/с числовые значения: sin А = 4,76/8,93.

Применив предыдущий алгоритм, находим А = 32°,2.

Вычислим угол В: В=90° — 32°,2 = 57°,8.

Вычислим катет 6. Подставив в формулу 6=csin5 числовые значения, имеем 6 = 8,93 sin 57°,8. Применив алгоритм задачи 28, получим 6 = 7,56. Контрольное вычисление катета a: a=6tg^ = 7,56 tg32°,2=4,76. Задача решена верно. Ответ: Л = 32°,2, В=57°,8, 6 = 7,56. #

4. Решение прямоугольного треугольника по двум катетам

32. Дано: а= 12,6, 6=16,9. Найти: А, В, с.

О Вычислим угол А; подставляем в формулу tgA=a/b числовые значения: tg А = 12,6/16,9.

Для вычисления угла А применим алгоритм

12,6

16,9

tg

arc

Л = 36°,7.

Вычислим угол В: 2?=90° — 36°,7 = 53°,3.

Вычислим гипотенузу с; подставляем в формулу с = a/sin А числовые значения: с= 12,6/sin 36°,8. Согласно алгоритму задачи 30, получим с=21,1. Контрольное вычисление катета 6: Ъ = с sin В— 21,1 sin 53,2= 16,9. Задача решена верно. Ответ: Л = 36°,8. 5= 53°,2, с=21,1.

33. Дано: я=2,46, 6 = 52,5. Найти: с.

О Вычислим угол у4; подставляем в формулу tgA = a/b числовые значения: tgA = 2,46/52,5; А = 2°,1.

Вычислим угол В: 5=90° —2°,7 = 87°,3.

Вычислим гипотенузу с. По формуле с=a/sin А находим с=52,2. ф

34. Решите прямоугольный треугольник по гипотенузе и острому углу: 1) с = 26,6, А = 63°,6; 2) с = 64,3, Я=48°,9; 3) с = 625, А*= 28°,5; 4) с = 0,586, 5=42°,7.

35. Решите прямоугольный треугольник по катету и острому углу: 1) я = 356, А = 52°,3; 2)а = 8,57, Я=36°,4; 3)6 = 0,946, Я=72°,6;

а=47,9, А = 56°,8.

36. Решите прямоугольный треугольник по гипотенузе и катету: 1) с = 37,6, я = 24,8; 2) с = 30,6, 6 = 22,8; 3) с=187, 6=112; 4) с = 0,627, а = 0,458.

37. Решите прямоугольный треугольник по двум катетам:

1. а = 0,820, 6 = 0,650; 2) а = 420, 6 = 96,8; 3)а=1,46, 6 = 2,37; 4) я = = 24,8, 6 = 32,6.

38. Решите равнобедренный треугольник (а—основание; 6—бо­ковая сторона; А — угол при вершине; В—угол при основании; h_a — высота, проведенная из вершины A; h_b—высота, проведенная к боковой стороне) по следующим данным: 1)6 = 56,3, В=42°,2; найдите А, а; 2) 6 = 72,4, у4 = 24°,5; найдите В, а; 3) я=126, В=1$°,2; найдите А, 6; 4) я = 5,64, А = 136°,4; найдите В, 6; 5) Л_а = 424, В= 38°,2; найдите А, а, 6; 6) Л_а = 42,6, у4 = 64°,6; найдите /?, а, 6; 7) а = 48, 6 = 56; найдите Л, В; 8) Л_в = 48,4, 6=116; найдите Л, Б, а; 9) а = 3,18; /г_а = 8,25; найдите Л, Д 6; 10)6 = 35,4, h_b= 12,6; найдите 5, а;

2. /г_ь = 52,8, у4 = 56°,2; найдите Д а, 6; 12) я = 42,8, h_b = 32,6; найдите Л, Я, 6.