§ 24. Производные тригонометрических функций

Формулы дифференцирования

При условии М=ф(х)	Номер формулы	При условии и—х	Номер формулы
(sinw)' = costt м'	(9.72)	(sin х)' = cosx	(9.72a)
(cosw)' = —sinи и'	(9.73)	(cosx)' = — sinx	(9.73 a)
(tg«)' = 2 и' cos2 и	(9.74)	(tgx)'= 2 cos2 X	(9.74a)
(ctg w У — . 2 и' sin и	(9.75)	(ctgx)'= . 2 smz x	(9.75 a)

Найти производные следующих функций:

вы-

1) f(x)=\—вычислить /'(тс/4); 2) /(х)=——-; ^{у w} 1+sm* ^{J v 1 7 ; J v ;} tg*

числить /'(я/3).

О 1) По формулам (7.5) и (9.72а) получим

^ ^ (1 — sin*)'(l -|-sin л:) — (l + sin*)'(l — sin*) ^{f W=} (1+sinxf ⁼

—cos*(l + sin*)—cos*(l — sin*) 2cos*

(l+sin*)² (1+sin*)²’

cos (rc/4) ^/2 _o , r-

(1 + sin (я/4))² (l_+v/2/2)²

2. По формулам (7.5) и (9.74a) получим

—2~Цх ^Х— (tgx-l) (tgx-tgx+l)

V- V ' ' лле* v' '

_ч COS** cos** cos**

/ w=-

tg²* tg²* sin²*’

^/,(,l/3)⁼^3j⁼3- •

254. j = sin(2x² + 3); 2) y = sin³mx.

О 1) Полагая 2x² + 3 = w, получим >> = sinw. По формуле (9.72) находим у' = cos и • и' = cos(2*² + 3)(2*² + 3)' = cos (2*² + 3) • 4*=4*cos(2*² + 3).

2. Полагая тх=и, получим >>=sin³w. Применяя последовательно фор­мулы (7.10) и (9.72), получим

;>' = 3 sin² и (sin м)'= 3 sin² м cos м • и'= 3 sin² m* cos/я* (т*)'=

= 3 sin² тх cos тх -т = 3т sin² тх cos тх. ф

Найдите производные следующих функций:

254. 1) /(x) ^{= si}”*^-; вычислите /'(я/3); 2) у=х² + sinx; 3) у — = xsin х.

255. 1) ^ = sin3x; 2) /(x) = sin(4x—1); 3) s = sin t²\ 4) /(0) = sin(0/2); вычислите /'(я/2).

256. 1) y = shrx; 2) t = sin³5(p^_3) >>=l/sinx; 4) y=l/sin3x.

257. 1) f(t) = у/sint; 2) y=y/sin2x; 3) 7= 1/^/sin3x.

258. 1) f(x) = l~^SinX; вычислите /'(я/4); 2) /(x)=^cos*⁺j; вы-

^{v 7} 1+cos* ^{v 7 v 7} COS*—1

числите f'(n/3); 3) j; = 2sinx—cosx+3; 4) /(x) = 2sinx—2cosx; вы­числите /'(я/6).

254. 1) f(t) = sintcost; 2) /(x) = sinx(l —cosx); 3) }> = xcosx;

4. /(x) = cos x (1 + sinx).

254. 1) j^cosx³; 2) j=cos(l/x²); 3) j=cos³x; 4) j=l/cos2x;

5. y= 1/cos² x.

254. 1) y = y/cos2x; 2) 7= 1/^/cosx².

254. 1) у=(\ — cos 2л:) sin 2л:; 2) у = - -^C°^S * ; 3) /Ы =cos³ л: sin л:;

• 14-cos л:

вычислите /'(я/3).

254. 1) y=.^t&* ; 2) y=tgx-x; 3) f(u)=u²tgu; 4)/(x)=sinx+

1 lg X

-ftgл:; вычислите f'(n).

254. 1) y=lg(ax+b)\ 2) y=tg(x/3); 3) y=tgx²; 4) y=tgy/2x.

255. 1) j; = tgxsin²x; 2) >>=3л:—tg^*:; 3) f(x) = tg²xsinx; вычисли-

те /'(я/3); 4) y=tg^+jtg³^. 271. 1) f(x)= ^tg^/²L; вычислите /'(л/2); 2) j>=-—

•^{/v ;} 1 +tg(x/2) ’ ⁷ tg2x

272. 1) j=ctgx+x; 2) /(*)= ^1+ctg*_; 3) /(x)=ctgx-tgx; вы-

Ctg JC

числите /'(я/4).

272. 1) y=ctgx³; 2) >>=ctg³x; 3) >>= -ctg|-^ctg³|.

273. Найдите скорость точки, движущейся прямолинейно по закону s=4sm3t, в момент времени 7=я/9 (5—в метрах, t—в секундах).

274. Найдите скорость точки, движущейся прямолинейно по закону s=— 2cos2f, в момент времени t = n/6.