§ 20. Преобразование алгебраической суммы тригонометрических функций в произведение

1. Основные формулы. Для преобразования алгебраических сумм триго­нометрических функций в произведение (приведения к виду, удобному для логарифмирования) используются формулы

а+Р а—В

sin а+sin 6=2 sin - cos - ; (9.61)

2. 2

а+р а—р

sina—sinр = 2cos — - sin — - ; (9.62)

а+Р а—р

cosa+cosp=2cos—— cos——; (9.63)

Часто используются также следующие формулы:

2. Условия равенства одноименных тригонометрических функций. Для

того чтобы синусы двух аргументов были равны, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

Для того чтобы косинусы двух аргументов были равны, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

Для того чтобы тангенсы двух аргументов были равны, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

Преобразовать в произведение: 225. 1) sin 40° + sin 20°; 2) cos (я/5)-cos (7я/10); 3) ctg (2тс/7) — —ctg (Tt/7); 4) cos² a—sin² P; 5) sin 2a cos 3a—2 sin² a sin 3a.

О 1) По формуле (9.61) получим

40° -20°

cos

2

sin 40° + sin 20° = 2 sin

40°+ 20°

= 2sin30°cos 10° = 2 -cos 10° = cos 10°.

2

2. По формуле (9.64) получим

cos (п/5)—cos (7л/10) = 2 sin (9я/20) sin (я/4)=yfl sin (9я/20).

2. Выразив котангенсы через тангенсы, используем формулу (9.66):

ctg (2я/7) - ctg (я/7)=tg (я/2 - 2я/7) - tg (я/2 - я/7) =

2. Используя формулы (9.67), (9.68) и (9.63), получим

/ 1+cos 2а \ /1—cos2p\ 1 _ч

cos² a—sin² р =

j Н — ) = 2(^cos2ot+cos 2Р)

=-•2 cos 2

2. sin 2a cos 3a—2 sin² a sin 3a=2 sin a cos a cos 3a—2 sin² a sin 3a=

= 2 sin a (cos a cos 3a—sin a sin 3a)=2 sin a cos 4a. #

226. 1) 1+sina+cosa; 2) sinx + sin2x + sin3x,

2. sin 20° +sin 34° +sin 24° +sin 30°.

О 1) Преобразуя выражение l+cosa в произведение по формуле (9.67) и используя формулу удвоенного аргумента для sina, получим

₉ а а а а/ а а\ l+cosa+sina = 2cos²-+2sin-cos-=2cos-( cos—hsin- ) =

2. 2 2 2\ 2 2)

а/ а (к а\\ , а к (п а\

= 2 cos- cos-4-cos -—- I =4 cos-cos-cos ) =

2\ 2 \2 2 J) 2 4 \4 2/

= 2₄/2cos^cos^“^.

2. Преобразуем в произведение сумму двух первых слагаемых (можно любых двух слагаемых), а третье слагаемое преобразуем по формуле удвоенного аргумента:

Зх х Зх Зх sin х+sin 2х+sin З.г=2 sin—cos —1-2 sin—cos—=

2. Заметив, что 20° 4-34° = 24° + 30°, выполним последовательно пре­образования по формулам (9.61) и (9.63):

=cos(x-^;

sin 20° 4- sin 34° 4- sin 24° + sin 30° = 2 sin 27° cos 7° 4- + 2 sin 27° cos 3° = 2 sin 27° (cos 7° + cos 3°)=4 sin 27° cos 5° cos 2°. #

226. Решить уравнения: 1) sin4x = sin3x; 2) cos 5.x

2. cosx = sin3x; 4) tg5x = tgx.

О Воспользуемся условиями равенства одноименных тригонометри­ческих функций:

, . Г 4х+3х=(2к + 1)я,

1. ^cos5x=cos^x—

6x=j+2nk,

_п Ответ: ^(8*+1);

4х= \-2nk.

4

+ п/2 — Зх = 2пк, п/2 + Зх=2пк

3> (со,,.3,-со,(5-э*))~[;;+

[—2х=2кк—%12, _Л 71₇ . тг, .

4х=2пк+к/2. ^0твет: 4^(4Л+1); 8⁽⁴*^+,)-

2. (5х—х=71/г)о(4х=яА:)о(х = яЛ:/4).

Из множества решений надо исключить те значения аргумента х, при которых левая и правая части уравнения не существуют, т. е. значения вида п/2 (2к 4-1). В множестве х=пк/4=(п/2)-(к/2) такие значения получаются, если к/2 — нечетное число: к/2=2п+1, т. е. £=4л + 2. Следовательно, уравнению удовлетворяет множество корней вида пк/4 при кф4п + 2. %

Преобразуйте в произведение: 228. 1) cos(7c/3)—cos(2rc/3); 2) cos0 — sina; 3) 2cos²a—sin2a;

2. cos 20° +sin 50°; 5) tg 25°—ctg 75°; 6) sin² 5a—sin² 3a.

229. 1) sinacosP + 2sin²(a/2)sinP; 2) sin 10°4-2sin5°cos 15° + +cos 50°. 230. 1) sin 16° + sin26° — sin42°; 2) siny! + sin/?+sin(y! + 2?)/2;

2. sin (a/2)—sin(3a/2)+cosa; 4) sin,4+cosБ4-cos С, где A + B+C=n\

2. sin 25° +sin 37° +sin 27° +sin 35°.

231. Покажите, что для углов А, В и С всякого треугольника имеют место соотношения:

_1Ч., _л . А . В С

1. sinл + sini?—sinC=4sin — sin-cos —;

2. 2 2

ABC

2. 1 — cos A + cos В+cos С=4 sin—cos—cos —;

2. 2 2

sin A + sin B+sin С A В

3. si,.<+si-»-si.C~^Ct82^Clg2-

4. tgЛ + tg2?+tgC— tgAlgBtgC.

231. Докажите тождества:

. a.я (n a\

1. l+sina+cosa = 4cos-sin-cos - ;

2. 4 \4 2J

2. sina + cosa— 1 =2_x/2sin^cos^+^;

3. 2 cos² a+cos a — 1 = 2 cos (3a/2) cos (a/2).

231. Решите уравнения:

1. sin5x = cos^-7x^; 2) ctg^-x^=-tg^-2xj;

3. cos^—jc^—cos^+x^ = 0; 4) cos(x—70°) —sin(x+70°) = 0.