§ 18. Смешанные задачи

Вычислите:

195. 1) sin 2a, cos2а и tg2a, если sin а = 4/5 и 0<а<я/2; 2) sin (а/2), cos (а/2) и tg(a/2), если cos а =1/2 и 0<а<я/2; 3) sin (а/4), cos (а/4) и tg(a/4), если sin а =—24/25 и Зя/2<а<2я.

196. 1) 2) !~^1ёг{^Я/‘5; 3) cos20°cos40°cos80°.

’ 1 — tg (я/8) 14- tg (тс/12)

195. 1) sin (2 arcsin (40/41)); 2) cos (2 arccos (2/3)); 3) tg (2 arctg (7/25)). Упростите:

196. 1) l-cos40°; 2) *~^cosa_; 3) |~^smot; 4) ctg a (1—cos 2a);

l+cosa 1+sina

5) tga(l + cos2a); 6) (tg«+^tg(j-^.

sinacosa 2sin²a-l l-tg²a a a

²> ³⁾ 2^— 2’

1. +cos 2а

^-а^ —sin 2а.

5)

; 6) 2cos^:

1. — cos 2а Докажите тождества:

sin 2а

cosa a ^=tg2^;

216 1) ^2s*^nx~2^х. 2)

2. sin х+sin 2х 2’ 1 +cos2a 1 +cosa

cosa—cos 2a— 1 sina—sin 2a

cos 2a (n \

3)

=ctga; 4) ctg -+a .

l+sin2a \4 J

1+sin2a—cos2a

1) -—— —=tga;

1. +sin 2a 4-cos 2a

_₄ 14-cos a+cos 2a+cos 3a

=ctga;

sin 2a+2 sin a cos 2a

sin¹ a+sin 3a ₍ cos³ a—cos 3a

) I »

sina

cosa

2. cos² a—sin⁴ a=cos 2a; 5) tg (я/12)+ctg (я/12) = 4;

5. cos³ a cos За + sin³ a sin За=cos³ 2a.

217. 1) tg(rc/4 + a) + tg(a—rc/4) = 2tg2a:

2. ₂a-p

   (sin a—sin P)² + (cos a—cos p)² = 4 sin²

3. sin a (sin a—sin p)+cos (cos a—cos P) = 2 sin

217. Решите уравнения:

1. sinxcosx= 1/4; 2) cos²x—sin²x = —1/2;

2. ctgx—ctg2x = 2; 4) tgJttg(rc/3 + .x:)tg(7c/3—jt) = 1.

2. tgx—tg2x = 0; Ь) 1 +cos* = 2cos(a:/2);

6. 1—cosx = 2sin(x/2); 8) ^/Isinx—cosx= 1.

ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА

2. вариант

1. Вычислите sin 2a, cos 2a и tg2a, если cos a=3/5 и 0<а<я/2.

2. Вычислите sin (a/2), cos (a/2) и tg(a/2), если sina=₄/3/2 и 0<а<я/2.

3. Докажите тождество

1+sin 2a (n \

г—=tg -+a I.

cos 2a \4 J

4. Докажите тождество

8 sin 10° sin 50° sin 70° = 1.

5. Решите уравнение

1. — cos x=sin x sin (x/2).

§ 19. Преобразование произведения тригонометрических функций в алгебраическую сумму

Для преобразования произведения тригонометрических функций в сумму применяются формулы

sin a cos р=^ [sin (а + Р)+sin (а—(3)]; (9.58)

cos а cos р=i [cos (а + Р)+cos (а - р)]; (9.59)

sin а sin р=^ [cos (а — Р)—cos (а+Р)]. (9.60)

217. Преобразовать в алгебраическую сумму:

XXX

1. sin5л:sin3jc: 2) cos-cos-cos-.

2. 3 4

О 1) По формуле (9.60) получим

sin 5х sin Зл;=^(cos(5*—Зх)—cos(5*+Зх))=^cos 2х—~cos 8*.

2. x x\ x \( Зл; x\ x -cos- lcos—=—I cos—bcos- I cos—=

   2 4/ 3 2\ 4 4 J 3

   \( 3x x x x\ \ (\ ( 13* 5x\

   =- cos—- cos -+cos - cos - =- - cos—-+cos— ) +

   2\ 4 3 4 3) 2\2\ 12 12/

   1 / Ix x \\ 1 1 Зл: 1 5л: 1 ^ 7л: 1 л;

   + -^- ₊ CO_S-jj-jCOS —+ ^^+^-+500,-. •

   221. Представить в виде сумм первых степеней следующие тригонометрические функции: 1) sin2л:; 2) cos2*; 3) sin3х.

   О 1) sin² л: = sin л: • sin л; = ^ (cos О—С082л:)=^—^cos2x;

   2. со8²л;=со8л:*со8л:=^(со80 + со8 2л:)=^+^со8 2л;;

   3. sin³ х = sin² х sinх= ( -cos2л;)sinх = \sinх—

   \2 2 ) 2

   1. . . ¹ • К • . • ч ¹ • ¹ • ,

   —-sin х cos 2x=-sinx—-sin Зх—sinx=-sinx—-sin 3x+

   2. 2 4 ^; 2 4

   ¹ • ³ • ¹ • о

   H— sin x=- sin x—sin 3x.

   4 4 4

   Отсюда получаем формулу для синуса утроенного аргумента: sin Зх= = 3sinx—4sin³x. #

   Используя дважды формулу (9.59), получим

ххх cos -cos-cos-=( cos

2. 3 4

Преобразуйте в алгебраическую сумму: 222. 1) cos lx cos 5л:; 2) sin Их sin х; 3) sin5xcos2x;

2. sin(a— p)cos(a+P); 5) cos(a+p)cos(2a+p);

c\ ^x У ^x+y

6. cos-cos-cos——.

2. 2 2

223. 1) sin^+x^sin^-A^; 2) 4cos^-x^cos^+xj;

3. 4cos^—x^cos^^—4) 4cos^4-x^sin^—

223. Представьте в виде сумм первых степеней: 1) cos³ х;

sin⁴ х; 3) cos⁴ х; 4) sin⁵ х; 5) cos⁵ х.