§ 17. Тригонометрические функции половинного аргумента

Формулы для тригонометрических функций половинного аргумента позволяют выразить функции аргумента а/2 через функции аргумента а:

(9.46)

(9.47)

(9.48)

(9.49)

(9.50)

(9.51)

(9.52)

a 1 — cos а в левой части а ф п (2к +1),

tg—= ₅

1. sin a ’ в правой части а фпк\

a 1 + cos а в левой части а Ф Ink,

ctg—= ,

1. sin а в правой части а фпк;

(9.53)

В формулах (9.46) и (9.47) знак перед корнем определяется по знаку четверти, которой принадлежит дуга а/2.

В формулах (9.48) и (9.49) знак перед корнем берется так, чтобы он совпадал со знаком tg(a/2), т. е. ставится плюс, если а/2—дуга I или III четверти, и минус, если а/2—дуга II или IV четверти.

Вместо формул (9.48) и (9.49) можно применять формулы (9.50)—(9.53), дающие рациональное выражение tg (a/2) через тригонометрические функции аргумента а.

В равенствах (9.51) и (9.52) левая и правая части имеют различные области определения. В равенстве (9.51) область определения левой части а#я(2£+1), а область определения правой части афкк. В равенстве (9.52) левая часть определена при аф2кк, а правая—при афпк. Применяя формулы (9.51) и (9.52) при решении тригонометрических уравнений, надо учитывать несовпадение областей определения этих формул.

Все тригонометрические функции любого аргумента можно выразить через тангенс половины этого аргумента по формулам

(9.54)

^а*^я(²*⁺¹)^{; (9}-⁵⁵⁾

^tg0(=l²-Ф{а12)' ^а#я(^2Л+1)> (9.56)

^aga-^l2^r ’*’*■ ⁽⁹⁵⁷⁾

195. Дано: cos a =1/2 и к/2«х<к. Вычислить sin (a/2), cos (a/2) и tg(a/2).

О 1) По формулам (9.46) и (9.47) находим

. a /1 — 1/2 1 a /1 + 1/2 Jb

sin—= / =-; cos-= / =-^—

2. \j 2 2’ 2 2 2

(перед корнем в обоих случаях ставим плюс, так как из условия следует, что 7i/4< а/2 <тс/2). Далее, имеем tg(a/2)=(l/2):(_N/3/2)= l/_>/3 = _>/3/3. •

195. Вычислить tg(a/2), если: 1) sin a=4/5 и я/2<а<я;

cosa=—4/5 и жа<Зя/2; 3) tga = 2_v/2 и я<а<Зя/2.

О 1) Находим cosa= — у/\ — (4/5)² = — 3/5. По формуле (9.50) получим

^{a 4} Л Л л

^tg2 И V ²‘

2. Находим sina = —>/l —(—4/5)²= —3/5. По формуле (9.50) получим

М-М-У'

2. Вычисляем sin а и cosa:

tga 2_ч/2 2^/2 sin a= 7== _■ —т—,

_N/l+tg²a yi+^j^{2 3}

1. 1

cosa= , == —-.

V'+(2v^)^{2 3}

По формуле (9.50) получим tg^= — ^{— —} V^- ®

/wv. w 14 ^sina l+cos2a

195. Упростить: 1) ; 2) ———.

1—cosa sin 2a

sina 2 sin (a/2) cos (a/2) cos (a/2)

1—cosa 2 sin² (a/2) sin (a/2)

3. l+cos2a 2cos²a cosa

2) ———=— =-—=ctg a. •

sin 2a 2 sin a cos a sin a

195. Доказать тождества:

1. 1+cosa = 2cos²(a/2); 2) 1—cosa = 2sin²(a/2).

О 1) Заменив в формуле cos2a=2cos² a— 1 аргумент a на a/2, получим

cosa=2cos²(а/2)— 1, или 1+cosa = 2cos²(a/2).

2) Аналогично, заменив в формуле cos 2a = 1 — 2 sin² а аргумент а на а/2, получим

cos а = 1 — 2 sin² (а/2), или 1 —cos а=2 sin² (а/2). #

Вычислить: 1) sina, если tg(a/2) = 2; 2) cosa, если tg(a/2) = 3;

2. tga, если tg(a/2)=₄/3; 4) ctga, если tg(a/2)=-^/2; 5) » если tg(a/2)=3.

О Используя формулы (9.54)—(9.57), получим:

. 2 tg (ot/2) 2-2 4

sma=- — — ■

l+tg²(a/2) 1+2² 5’

1. — tg²(a/2) 1-3² 4

1. cosa=

l+tg²(a/2) 1+3² 5’

3^ _trDI ^2ts(«/²) ²Уз r-

2. ^tga 1 — tg²(a/2) 1_(-V3)² ^ '

3. _ctgq- ^¹ ~^tg2^ - ¹ У²)'- 'V²■

2tg(a/2) 2-(-v^) ⁴ ’

1 — tg²(a/2) 1-9 4 . 2tg(a/2) 6 3

4. ^cosa=TT^⁼TT9=-5’ ^s,na=TW(^⁼TT9⁼5^;

cos a—3 5 •(—4/5)—3

10sina+T” 10 (3/5)+1 *

195. Решить уравнения: 1) sin^+^ —cos(k+x)+1 =0;

2. sinA: + cosA:=l; 3) 3sin*+ 4cosx=4.

x

fcos-=0,

<<

^Ll+2cos^=0 2

О 1) ^sin^+^—cos(n + x)+l =0^o^cos^+cosx+l=0^o

>{ cos^+2cos²^=0 W( cos^l 1 + 2cos4=0]o

V 2 2 ; v ²V v )

[COS —= 0, r- = - + 7l/t, Г /^,,,4

2. (sinx+cosx= l)o(sin х= 1 — cosx)ol 2sin-cos-=2sin²-jo

L.*( * . A \ P'“5'⁰’

о

>( 2 sin-I cos-—sin- 1 = 0 Jo I ol о

V 2V 2 2) J \ * . * _л * , \ x n ⁴⁴ l-cos— sin-=0 ■—tg—= 1 ¹—=-

x=2nk, n _{л f}

Ответ: 2nk; -+2nk. n ^ , 2

x=—Ь2л/с.

2

(

2z

2. Выразим sin л: и cos л: через z = tg(x/2); имеем sinx=— ₂,

1 H~ z

1-z² ^ cosx=- =■. Тогда

⁴-^=4o4z²-3₂

₌₀J-°>

1 +z 1+z²

[_z=3/4.

Данное уравнение равносильно совокупности уравнений tg(x/2)=0 и tg (х/2) = 3/4, откуда х/2 = пк и х/2 = arctg (3/4) 4- тгА:. Ответ: 2пк;

2. arctg (3/4) 4- 2я£.

Вычислите:

195. sin(a/2), cos(a/2) и tg(a/2), если: 1) cosa=—7/25 и я/2<а<я;

sina= —15/17 и Зя/2<а<2я; 3) tga = 4/3 и 0<а<я/2.

195. 1) cos (а/2), если tga = — 12/5 и 5я/2<а<3я; 2) sin (а/2), если ctgа=5/12 и Зя<а<7я/2.

196. 1) sina, если ctg (а/2) = 1/3; 2) cosa, если ctg (а/2) = 1/2; 3) tga,

если ctg(a/2)=_N/3/3; 4) ? , если tg(a/2)=2.

1U sin ОС 1

195. Решите уравнения: 1) 1—cos х=sin (х/2); 2) l4-cosx= = cos (х/2); 3) l4-cosx=sinx.