175. Доказать тождества:

о—, ^ ^ ^{/=tga; 2}> 1^«?р^{=1ё(а+р)1ё(а}~^р)-

2sin) ' “ ¹

О 1) Упрощая левую часть равенства, получим у/2 cos a—2 cos ^+ aj 2 ^{cos a—cos} ^

2. sin + aj—y/2 sin a 2 ^sin ^^—siⁿ

cos (я/4) cos a—cos (тс/4) cos a+sin (л/4) sin a sin (тс/4) sin a

sin (я/4) cos a+cos (я/4) sin a—cos (я/4) sin a sin (я/4) cos a т. e. тождество доказано.

2) Упрощаем правую часть равенства:

• ( ( а\- feg+teP . tga-tgP _ tg²a—tg²(3

^g 1—tgatgp 1+tgatgp 1 — tg² a tg² p

175. Решить уравнения:

1. sin2jccosjc+cos2xsinjc = 0;

2. sin(7c/4+x)+cos(jt—я/4) = 0; 3) *^g*⁺-* = 1.

1—tgx

О 1) Используя формулу (9.34), получим (sin 2х cos х+cos 2x sin л;=0)o(sin (2x+x) = 0)o(sin 3x+0)о(3л;=nk )ox=nk/3.

2. По формулам (9.34) и (9.37) получим

sin (я/4) cos х+cos (я/4) sin x+cosx cos (я/4)+sin x sin (я/4)=0.

Сократив на sin (я/4) [sin (я/4)=cos (я/4)] и приведя подобные члены, прихо­дим к уравнению

2sinx+2cosx=0, т. е. sinx+cosx=0.

При условии, cos л; Ф 0 имеем tgx= — 1; х= — к/4+кк.

2. Имеем

(г^Г ')^^{tg(X+,t/4)= 1}Н^+«/4=я/4₊^К

ох=пк.

175. Вычислите, не применяя таблиц, значения синуса и косинуса дуг и/12, 5я/12 и 7я/12(я/12 = я/3 — п/4; 5я/12 = я/б4-я/4, 7я/12 = = 7С/4 + я/3). Вычислите: 178. 1) sin(a + P) и sin(a— Р), если cosa = 4/5, sin Р = — 3/5, Зл/2<а<2я, я<Р<Зл/2; 2) cos(a + P) и cos(a—Р|, если sina = 8/17 и cos Р = 3/5, к/2«х<к и Зя/2<Р<2л. 3) sin (я/4+а) и cos (я/4+а), если tga=— 3/4, к/2«х<к.

179. cos (arccos (1/7)—arccos (И/14)); 2) sin (arcsin (5/13)+arcsin x x (12/13)); 3) tg (arctg (2/3)-arctg (1/3)); 4) ctg(arcctg5-arcctg(l/5)).

180. 1) tg(n/12); 2) tg(5n/12); 3) .g(7*,12); 4)

3. ctg(Tc/4+a), если sina= —1/2 и я<а<Зя/2.

179. Упростите:

1. cos (я/4) cos (я/6)—sin (я/4) sin (я/6); 2) sin (я/3) cos (я/4)—cos x x (я/3) sin (я/4); 3) sin(a+P) — sin (a— P); 4) cos (я/3 + a) cos (я/3 — a) — —cos a; 5) 2 sin (я/4+a) sin (я/4—a) + sin² a; 6) sin 2a —cos 2a tga; 7)

1. +tg (rc/4—a)

1. —tg(rc/4—a)

179. Докажите тождества:

1. sin(a-hP)sin(a—P) = sin²a—sin² P;

2. cos(a + P)cos(a—p) = cos²a—sin²P;

3. cos j^-a^^cosa+^sina);

4. sin ^+a^=^^ (sin a+cos a).

179. Решите уравнения: 1) sin 2л: cos л; = cos 2л: sin л:; 2) 8 sin x x (я/6—л:) — 3 cos x = 0; 3) 5 sin (я/3+л:)+7 sin (я/3—jc) = 0.

§ 15. Смешанные задачи

Вычислите:

179. 1) cos(a+P) и cos (a— p), если cos a=3/5 и cos p = 7/25, 0<а<я/2 и 0<р<я/2; 2) sin(a—p) и cos(a—P), если sina=— 4/5 и cosP=—24/25, я<а<Зя/2, я<Р<Зя/2.

180. 1) tg(a—45°), если ctga = 2/3; 2) ctg(a—45°), если tga = 3/2.

181. Упростите: 1) sin (я/12)+cos (я/12); 2) sin² (a— P) + sin² p + + 2 sin (a — (J) cos a sin p.

Докажите тождества:

179. 1) sin (я/6+a)+sin (я/6 — a) = cos a;

2. cos² a+cos² (я/3 + a)+cos² (я/3 — a) = 3/2; cosa+sina , ..

3. :—=tg(rc/4+a); cosa—sina ' tg (я/4+a)—tg (я/4—a) .

⁴> tg (n/4+«) +tg (li/4 ^{= 005 a}’

’ 2 cos a cos² P ^{6 6 K} cos²(a+P)+cos²(a-p)_ _ , , ’ 2 sin² a sin² p ^{ё g P}’ tg(a-p)+tgp_c0s(a + p). tg(a—P)—tgp cos(a-P)’

4. (tg a+tgP) ctg (a+p)+(tg a - tg P) ctg (a - p)=2;

. tga+tgP tga-tgP₌. tg(a+P) tg(a-p)

189. 1) sin(a+p+Y)=sin(a+P)cosY+cos(a+p)siny;

cos (a + P+y)=cos (a + f$) cos у—sin (a+P) sin y;

sin(a-p) _| sin(P-y) sin(y-ot) _{= 0} sin a sin (3 sin p sin у sin у sin a

189. 1) cos 15°+₄/3sin 15°=«У2.

2. cos 59° cos 79°+cos 31° cos 11° + cos 20° = 2 cos 20°; sin 40° cos 15°—cos 40° sin 15°

' cos 15° cos 10° - sin 15° sin 10° ” ^ё ’ cos 115° sin 305° +sin 35° cos 25° _ /r ' cos 160° sin 230° - cos 70° sin 40° ”'^ ’

189. cos x.

     Решите уравнения: 1) cos2xcosx=sin2jcsinx; /Я \ /Я о ~ Зх X 2) cosl -+2х j cos I --2х J=-cos^z2x; 3) cosy=cos-

ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА

1. вариант

1. Вычислите cos(a+p), если sin сх = —15/17, cos Р = 8/17, 7i<a< <Зл/2 и Зя/2<р<2я.

2. Вычислите sin (arcsin (12/13)—

arccos (15/17)).

3. Докажите тождество sin (a — P) cos p+cos (a—p) sin p

2. вариант

1. Вычислите sin (a—Р), если cos а=3/5, cos Р=-7/25, Зя/2<а< <2я и я<Р<Зя/2.

2. Вычислите cos (arcsin (15/17)+ +arccos (—12/13)).

3. Докажите тождество sin (я/4+а)—cos (я/4+а)

sin (я/4+а)+cos (я/4+а) ^tg0t

4. Докажите тождество

tg (я/3 + а) - tg (я/3 - а) - ^{8 tg а}

1. — 3tg²a

5. Решите уравнение

sin х sin Зх+cos 4х=0.

УДВОЕННОГО

§ 16. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

АРГУМЕНТА

Формулы для тригонометрических функций удвоенного аргумента позволяют выразить функции аргумента 2а через функции аргумента а:

sin 2а=2 sin a cos а; (9.42)

cos 2а=cos² а—sin² а; (9.43)

2 tga я я пк

^tg2a=r^’ ^а#2⁺**’ ^а*4⁺Т’

(9.44)

(9.45)

1

пк

«#_т.

ctg 2а=

ctg² а- 2 ctg а

Из формулы (9.43) легко получаются следующие соотношения:

189. Вычислить: 1) sin 2a, если cos a = 4/5 и Зтс/2 <а<2тс; 2) cos2a, если cosa=—0,2 и тс/2<а<тс; 3) tg2a, если tga=3/4 и жа<Зтс/2.

О 1) Находим sina= —>/l — (4/5)² = —3/5. По формуле (9.42) получим sin 2a = 2 • (- 3/5) • (4/5) = - 24/25.

2. По формуле (9.43а) находим cos2a = 2(—0,2)² — 1 = — 0,92.

2. *(3/4) 3

2. По формуле (9.44) находим tg2a=—7—г^=3- ф

1. —(3/4) 7

189. Выразить: 1) sin За через sina; 2) cos За через cosa.

О 1) sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina=2sinacoscosa+

+(1 — 2 sin² a) sin а=2 sin a cos² а+sin а—2 sin¹ а=2 sin a(l — sin² a)+ sin a—

• 2 sin³ a=2 sin a—2 sin³ a+sin a—2 sin³ a = 3 sin a—4 sin³ a;

2. cos 3a=cos (2a+ a) =cos 2a cos a—sin 2a sin a = (2 cos² a — 1) cos a—

• 2 sin a cos a sin a = 2 cos³ a—cos a—2 sin² a cos a=2cos³ a—cos a—

• 2(1— cos² a) cos a = 2 cos³ a—cos a—2 cos a 4- 2 cos³ a=4cos³ a—3 cos а. ф

Вычислите: 194. sin 2a, cos 2a и tg2a, если: 1) sin a =—3/5 и жа<Зтс/2;

2. cosa=5/13 и Зтс/2<а<2тс; 3) tga=—3/4 и тс/2<а<тс.

195. 1) ctgz, если tg(z/2) = 5/3; 2) sin За, cos За и tg3a, если sin (За/2) = —5/13 и жа<Зтс/2; 3) cos4x и tg4x, если tgx=l/5 и п<х< Зтс/2.

196. Найдите числовые значения выражений: 1) sin 2a/(2cos a), если cos a =—4/5 и ж a< Зтс/2; 2) cos2a/sina, если sin a =—3/5 и Зтс/2 <а<2тс.

197. Выразите: 1) sin4а через sina и cosa; 2) cos4а через sina и cosa; 3) tg3a через tga; 4) cos4а через cosa; 5) sin5а через sina.

198. Упростите: 1) 1—2cos²^—2) 2cos² ^

2. l-2sin²^-^; 4) 2sin²^+^-l.

195. Докажите тождества:

1. 2sin²a+cos2a= 1; 2) 1 + cos2a = 2cos²a;

l+cos2a ₇ „ sin2a—sina

2. —=ctg²a; 4) —=tg a;

1—cos 2a 1—cos a+cos 2a

5. cos¹ a + sin⁴ a = 1 — 0,5 sin² 2a;

6. cos⁶a + sin⁶a= 1—0,75sin²2a;

_ l+sin2a sina+cosa _оч sin³a+sin3a

7. —= —; 8) —3 —=ctg a;

cos 2a cosa—sina cos^a—cos 3a

—cos2a+sin2a 2 —sin4actg2a _A _

⁹> 71 .- ■ , . ^tga; 10) . — = tg2«;

+ cos 2a+sin 2a sin 4a

sin3a cos3a _ l+cos2a l+cos4a

2. =2; 12) ——=ctga;

sina cosa cos 2a sin 4a

195. Решите уравнения:

1. sin2x — sinx = 0; 2) sinx*cosx = 1/2; 3) cos²x—sin²x= 1.