Добавил:
Upload
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практические занятия по математике.doc
X
- •§ 4. Смешанные задачи
- •§ 8. Смешанные задачи
- •Раздел I
- •Глава 1
- •§ 1. Абсолютная погрешность приближенного значения числа.
- •§2. Верные цифры числа. Запись приближенного значения числа. Округление приближенных значений чисел
- •§3. Относительная погрешность приближенного значения числа
- •Глава 2 действия над приближенными значениями чисел
- •§ 1. Сложение приближенных значений чисел
- •§2. Вычитание приближенных значений чисел
- •§3. Умножение приближенных значений чисел
- •§4. Деление приближенных значений чисел
- •§ 5. Возведение в степень приближенных значений чисел и извлечение из них корня
- •§6. Вычисления с наперед заданной точностью
- •§ 7. Решение прямоугольных треугольников с применением микрокалькулятора
- •§ 8. Решение косоугольных треугольников
- •§ 9. Смешанные задачи
- •Глава 3 системы уравнений и неравенств
- •§ 1. Решение линейных уравнений с одной переменной
- •§ 2. Решение линейных неравенств с одной переменной
- •§ 3. Системы и совокупности неравенств с одной переменной
- •§ 4. Неравенства с одной переменной, содержащие переменную под знаком модуля
- •30. Найти числовое значение выражения
- •§ 5. Решение систем двух линейных уравнений с двумя переменными
- •§ 7. Решение квадратных уравнений
- •§ 8. Свойства корней квадратного уравнения. Разложение квадратного трехчлена на множители
- •§ 9. Решение уравнений, приводимых к квадратным
- •§ 10. Задачи на составление квадратных уравнений
- •§ 11. Графическое решение квадратных неравенств
- •§ 12. Иррациональные уравнения
- •§ 13. Иррациональные неравенства с одной переменной
- •§ 14. Нелинейные системы уравнений и неравенств с двумя переменными
- •103. Дать геометрическую иллюстрацию решений систем:
- •105. Дайте геометрическую иллюстрацию решений следующих систем:
- •§ 15. Задачи на составление систем уравнений
- •§ 16. Простейшие задачи линейного программирования с двумя переменными
- •Глава 4 функция. Логарифмическая и показательная функции
- •§ 1. Функция. Область определения и множество значений функции
- •§ 2. Логарифмическая функция 1. Логарифмическая функция.
- •Постройте графики функций:
- •§ 3. Показательные уравнения
- •Способ уравнивания оснований
- •Решить уравнения:
- •Логарифмирование обеих частей уравнения. Применение основного логарифмического тождества
- •Преобразование к квадратному уравнению
- •Способ группировки
- •§ 4. Системы показательных уравнений
- •32. Решить системы уравнений:
- •§ 5. Показательные неравенства
- •§ 6. Логарифмические уравнения
- •§ 7. Системы логарифмических уравнений
- •§ 8. Логарифмические неравенства
- •§ 9. Смешанные задачи
- •Глава 5
- •§ 1. Бесконечная числовая последовательность
- •Даны последовательности:
- •§ 2. Предел числовой последовательности
- •Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Последовательность называется бесконечно малой, если ее предел равен нулю.
- •Глава 6 предел функции
- •§ 1. Вычисление предела функции
- •§ 2. Число e. Натуральные логарифмы
- •Вычислить с помощью таблиц десятичных логарифмов: 1) е3;
- •§3. Смешанные задачи
- •§4. Приращение аргумента и приращение функции
- •§5. Непрерывность функции
- •§6. Точки разрыва функции
- •§7. Асимптоты
- •Найти асимптоты кривых:
- •§8. Решение дробно-рациональных неравенств методом промежутков
- •Глава 7 производная
- •§ 1. Скорость изменения функции
- •§2. Производная
- •§3. Основные правила дифференцирования. Производные степени и корня
- •§4. Производная сложной функции
- •§ 5. Физические приложения производной
- •Тело массой 10 кг движется прямолинейно по закону
- •Найдите ускорение точки в указанные моменты времени, если скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением:
- •§ 6. Производные логарифмических функций
- •§ 7. Производные показательных функций
- •§ 8. Смешанные задачи
- •Глава 8 приложения производной к исследованию функций
- •§ 1. Возрастание и убывание функции
- •§ 2. Исследование функции на экстремум с помощью первой производной
- •§ 3. Исследование функции на экстремум с помощью второй производной
- •§ 5. Задачи на нахождение наименьших и наибольших значений величин
- •В мально освещена у ее границы?
- •§ 6. Направление выпуклости графика функции
- •§ 7. Точки перегиба
- •§ 8. Построение графиков функций
- •Глава 9 тригонометрические функции
- •§ 1. Радианное измерение дуг и углов
- •Основные понятия, связанные с вращательным движением точки. При
- •Точка колеса, находящаяся от его центра на расстоянии 0,56 м, равномерно вращается с линейной скоростью 4,6 м/с. Найти период вращения колеса.
- •Линейная скорость на ободе равномерно вращающегося маховика, радиус которого 0,64 м, равна 256 м/с. Найти угловую скорость маховика.
- •§ 2. Единичная числовая окружность
- •§ 3. Тригонометрические функции числового аргумента
- •§ 4. Знаки, числовые значения и свойства четности и нечетности тригонометрических функций
- •Упростить:
- •Определите знаки выражений:
- •§ 5. Основные тригонометрические тождества
- •Упростите выражения:
- •Докажите тождества:
- •Упростите выражения:
- •Докажите тождества:
- •§ 6. Периодичность тригонометрических функций
- •§7. Обратные тригонометрические функции
- •§ 8. Построение дуги (угла) по данному значению тригонометрической функции
- •Записать главные дуги, синус которых равен: 1) 0; 2) — 1; 3) 1;
- •Записать главные дуги, косинус которых равен: 1) 0; 2) 1;
- •Записать главные дуги, котангенс которых равен: 1) у/3/3;
- •Запишите главные дуги, синус которых равен: 1) 1/2;
- •Запишите множество дуг, косинус которых равен: 1) —1/2;
- •§ 9. Тригонометрические уравнения
- •§ 10. Тригонометрические неравенства
- •§ 11. Свойство полупериода синуса и косинуса
- •§ 13. Смешанные задачи
- •Вычислите:
- •Упростите:
- •Докажите тождества:
- •§ 14. Тригонометрические функции алгебраической суммы двух аргументов (формулы сложения)
- •Доказать тождества:
- •Упростите:
- •Докажите тождества:
- •§ 15. Смешанные задачи
- •§ 17. Тригонометрические функции половинного аргумента
- •§ 18. Смешанные задачи
- •§ 19. Преобразование произведения тригонометрических функций в алгебраическую сумму
- •221. Представить в виде сумм первых степеней следующие тригонометрические функции: 1) sin2л:; 2) cos2*; 3) sin3х.
- •§ 20. Преобразование алгебраической суммы тригонометрических функций в произведение
- •Условия равенства одноименных тригонометрических функций. Для
- •§ 21. Преобразования с помощью вспомогательного
- •§ 22. Смешанные задачи
- •Преобразуйте в суммы тригонометрических функций первой степени следующие произведения:
- •Преобразуйте в произведение:
- •Решите уравнения:
- •§ 24. Производные тригонометрических функций
- •§ 25. Производные обратных тригонометрических
- •§ 26. Вторая производная и ее приложения
- •§ 27. Гармонические колебания
- •§ 28. Основные свойства тригонометрических функций
- •Найдите наибольшее и наименьшее значения функций:
- •§ 29. Построение графиков тригонометрических
- •Построить графики функций:
- •§ 30. Смешанные задачи
- •Глава 10 дифференциал функции. Приложение дифференциала к приближенным вычислениям
- •§ 1. Вычисление дифференциала функции
- •§ 2. Абсолютная и относительная погрешности
- •§ 3. Вычисление приближенного числового значения функции
- •§ 4. Формулы для приближённых вычислений
- •§ 5. Вычисления по способу строгого учета погрешностей
- •Найти относительную погрешность точности отсчета на логарифмической линейке со шкалой 250 мм.
- •§ 6. Смешанные задачи
- •Глава 11 неопределенный интеграл
- •§ 1. Основные формулы интегрирования. Непосредственное интегрирование
- •3) По формуле (11.13) находим
- •§ 2. Геометрические приложения неопределенного
- •§ 3. Физические приложения неопределенного интеграла
- •Найти закон движения свободно падающего тела при постоянном ускорении g, если в начальный момент движения тело находилось в покое.
- •Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью v0. Найдите закон движения этого тела (сопротивлением воздуха можно пренебречь).
- •§ 4. Интегрирование методом замены переменной
- •§ 5. Интегрирование по частям
- •Найти следующие интегралы:
- •§ 6. Интегрирование некоторых тригонометрических
- •§ 7. Смешанные задачи
- •Составьте уравнение кривой, проходящей через точку
- •Глава 12 определенный интеграл
- •§ 1. Определенный интеграл и его непосредственное вычисление
- •§ 2. Вычисление определенного интеграла методом замены переменной
- •§3. Интегрирование по частям в определенном интеграле
- •§ 4. Приближенное вычисление определенных интегралов
- •Глава 13 приложения определенного интеграла
- •§ 1. Применение определенного интеграла к вычислению различных величин.
- •§ 2. Вычисление пути, пройденного точкой
- •§3. Вычисление работы силы
- •§ 4. Вычисление работы, производимой при поднятии груза
- •Цилиндрический резервуар с радиусом основания 2 м и высотой 3 м заполнен водой. Вычислите работу, которую необходимо произвести, чтобы выкачать воду из резервуара.
- •§ 5. Вычисление силы давления жидкости
- •Вычислить силу давления воды на вертикальный прямоугольный шлюз с основанием 20 м и высотой 5 м (уровень воды совпадает с верхним обрезом шлюза).
- •§ 6. Длина дуги плоской кривой
- •Глава 14 комплексные числа
- •§ 1. Комплексные числа и их геометрическая интерпретация
- •§ 2. Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме
- •Показать, что справедливы равенства
- •§ 3. Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме
- •Представить в тригонометрической форме следующие числа:
- •Извлечь корни из комплексных чисел 1) y/I; 2)
- •Найдите произведения:
- •Выполните умножение, используя тригонометрическую форму комплексного числа:
- •§ 4. Показательная функция с комплексным показателем. Формулы эйлера
- •§5. Смешанные задачи
- •Глава 15 дифференциальные уравнения
- •§ 1. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными
- •§2. Задачи на составление дифференциальных уравнений
- •Составить уравнение кривой, проходящей через точку м (2; —3) и имеющей касательную с угловым коэффициентом 4jc—3.
- •Составить уравнение кривой, проходящей через точку (1; 4), для которой отрезок касательной между точкой касания и осью абсцисс делится пополам в точке пересечения с осью Оу.
- •Температура воздуха равна 20°. Тело охлаждается за 40 мин от 80 до 30°. Какую температуру будет иметь тело через 30 мин после первоначального измерения?
- •§3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •§4. Неполные дифференциальные уравнения второго порядка
- •Ускорение свободно падающего тела удовлетворяет уравне-
- •§5. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Найдите частные решения уравнений:
- •56. Решите уравнения:
- •§6. Смешанные задачи
- •Глава 16 элементы комбинаторики и теории вероятностей
- •§1. Элементы комбинаторики
- •Составить всевозможные перестановки из элементов: 1) 1; 2) 5, 6; 3) а, ь9 с.
- •6. Решить систему уравнений
- •§2. Случайные события. Вероятность события
- •§ 3. Теорема сложения вероятностей
- •Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 3, либо 5, либо тому и другому одновременно.
- •В ящике в случайном порядке положены 10 деталей, из которых 4 стандартных. Контролер взял наудачу 3 детали. Найдите вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей оказалась стандартной.
- •В урне находятся 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных шаров. Найдите вероятность того, что вынутый шар окажется:
- •Найдите вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 4, либо 5, либо тому и другому одновременно.
- •§ 4. Теоремы умножения вероятностей
- •В одной урне находятся 4 белых и 8 черных шаров, в другой—3 белых и 9 черных. Из каждой урны вынули по шару. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми.
- •В ящике находится 12 деталей, из которых 8 стандартных. Рабочий берет наудачу одну за другой две детали. Найти вероятность того, что обе детали окажутся стандартными.
- •В урне находятся 6 шаров, из которых 3 белых. Наудачу вынуты один за другим два шара. Вычислите вероятность того, что оба шара окажутся белыми.
- •В урне находятся 10 белых и 6 черных шаров. Найдите вероятность того, что три наудачу вьшутых один за другим шара окажутся черными.
- •§ 5. Формула полной вероятности. Формула байеса
- •В первом ящике имеются 8 белых и 6 черных шаров, а во втором—10 белых и 4 черных. Наугад выбирают ящик и шар. Известно, что вынутый шар—черный. Найти вероятность того, что был выбран первый ящик.
- •§ 6. Повторение испытаний. Формула бернулли
- •§ 7. Смешанные задачи
- •Глава 17 векторы на плоскости § 1. Основные понятия и определения
- •§ 2. Сложение и вычитание векторов.
- •Какому условию должны удовлетворять три вектора а, в и с, чтобы из них можно было образовать треугольник?
- •Точка м—середина стороны треугольника авс. Выразите см через векторы ав и вс.
- •Докажите, что средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований.
- •§ 3. Прямоугольная система координат
- •Разложение вектора по координатным осям. Разложение вектора а в базисе (/, ]) имеет вид
- •Правила действий над векторами, заданными своими координатами.
- •Выразить через единичные векторы I и j следующие векторы:
- •Проверить, коллинеарны ли векторы ав и с/); если да, то сонаправлены ли они. Векторы соответственно заданы точками:
- •В каком случае проекция вектора на ось: 1) равна нулю; 2) равна по абсолютной величине длине данного вектора?
- •Векторы а и в симметричны относительно прямой /. Каким соотношением связаны между собой проекции этих векторов на ось п: 1) параллельную прямой /; 2) перпендикулярную прямой /?
- •Выразите через единичные векторы г и / векторы:
- •Даны точки: л(—2; —3), в(2; 4) и с(5; 1). Разложите векторы а в, вс и с а по единичным векторам I n_j.
- •Проверьте, коллинеарны ли векторы ав и cd; если да, то сонаправлены ли они. Векторы соответственно заданы точками:
- •§ 4. Длина вектора. Расстояние между двумя точками на плоскости. Углы, образуемые вектором с осями координат
- •Найти длину вектора ав, если а( 1; 1) и в(4; — 3).
- •Найти единичный вектор того же направления, что и вектор:
- •Даны тючки а[4; 0), 5(7; 4) и с ( — 4; 6). Найдите длины векторов: 1) ав; 2) 2?с; 3) с4.
- •Даны вершины треугольника а(хл; уА), в(хв; ув) и с(хс; ус). Найти точку пересечения медиан этого треугольника.
- •§ 6. Скалярное произведение двух векторов
- •Даны точки а ( — 2; 4), яд; -j3), с (4; —2) и /)(1; 5). Вычислите скалярное произведение ab cd.
- •§ 7. Преобразования прямоугольных координат
- •В системе, повернутой относительно исходной на угол 45°, дана точка ( — 2; 4). Найти координаты этой точки относительно исходной системы.
- •§ 8. Полярные координаты
- •§ 9. Смешанные задачи
- •Глава 18 прямая на плоскости и ее уравнения
- •§ 1. Общее уравнение прямой. Векторное и каноническое уравнения прямой
- •§ 1. Общее уравнение прямой. Уравнение первой степени относительно переменных х и у, т. Е. Уравнение вида
- •Прямая, параллельная оси Ох, проходит через точку (—2; 2). Составить уравнение этой прямой.
- •Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку м (2; 3).
- •§ 2. Уравнение прямой в отрезках на осях
- •Составить уравнение прямой, пересекающей ось Ох в точке (3; 0), а ось ординат—в точке (0; 5).
- •Составьте уравнение прямой в отрезках на осях, если она пересекает оси координат в точках: 1) а ( — 2; 0) и в (0; 3); 2) а (3; 0) и в (0; -4).
- •§ 3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и образующей с осью Ох угол: 1) 0; 2) я/4; 3) 120°; 4) arctg (—3).
- •Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и через точку а (—2; 3).
- •Найти координаты точки а, если угловой коэффициент прямой, проходящей через начало координат и через точку а, равен 3/4 и точка а удалена от начала координат на 10 ед. Длины.
- •Составить уравнение прямой, проходящей через точку (3; 4) и отсекающей на оси Оу отрезок ь — 2.
- •Составить уравнение прямой, проходящей через точку (2; 6) и образующей с осью Ох угол arctg 5.
- •§ 4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении
- •§ 5. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
- •§ 6. Пересечение двух прямых
- •§ 7. Угол между двумя прямыми
- •Дан треугольник с вершинами а (—6; — 1), в (4; 6) и с (2; 1). Найти внутренние углы этого треугольника.
- •Найдите острый угол между двумя прямыми, если: 1) первая из них проходит через точки Аг (4; 2) и Bi (1; —7), а вторая—
- •Найдите внутренние углы треугольника, если его вершинами служат точки; 1) а ( — 6; —3), в (6; 7) и с (2; —1); 2) л (0; 4), я (4; -2) и с,(—4; -2).
- •Дан треугольник с вершинами а (6; 8), в (2; —4) и с (—6; 4). Найдите угол между стороной ав и медианой, проведенной из вершины а.
- •Две прямые, проходящие через начало координат, образуют между собой угол arctg (1/3). Отношение угловых коэффициентов этих прямых равно 2/7. Составьте уравнения этих прямых.
- •Две прямые, проходящие через начало координат, образуют между собой угол arctg (7/9). Отношение угловых коэффициентов этих прямых равно 9/2. Составьте уравнения этих прямых.
- •Треугольник задан вершинами а (—6; — 2), в (4; 8) и с (2; —10). Составьте уравнение биссектрисы угла а.
- •§ 8. Условие параллельности двух прямых
- •Составьте уравнение прямой: 1) проходящей через точку м(—3; —1) параллельно прямой (ав), где а(—2; 6) и I?(3; — 1);
- •§ 9. Условие перпендикулярности двух прямых
- •§ 10. Смешанные задачи
- •К прямой, проходящей через точки а(—4; 2) и в (8; 4), проведен перпендикуляр через точку, которая делит расстояние ав (от а к в) в отношении 3:4. Составьте уравнение перпендикуляра.
- •Две противоположные вершины квадрата находятся в точках а(— 1; 1) и с(5; 3). Составьте уравнения сторон и диагоналей этого квадрата.
- •Составьте уравнения катетов прямоугольного равнобед
- •§ 1. Множества точек на плоскости
- •1. Составить уравнение множества точек на плоскости, равноудаленных от точек а (2; 4) и в(4; 6).
- •Найти множество точек на плоскости, удаленных от начала координат на расстояние г.
- •§ 2. Окружность
- •Составить уравнение окружности с центром в точке (5; —7) и проходящей через точку (2; —3).
- •Составить уравнение окружности, проходящей через точки
- •Составить уравнение окружности, касающейся оси абсцисс в точке а (3; 0) и имеющей радиус, равный 6.
- •Составить уравнение окружности, касающейся оси ординат и проходящей через точки а(4; 5) и 2?(18; —9).
- •§ 3. Эллипс
- •Составить уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 6 (фокусы лежат на оси Ох) и большая ось равна 10.
- •Составьте уравнение эллипса, фокусы которого находятся в точках (0; — у/з) и (0; у/з), а большая ось равна V?.
- •Составьте уравнение эллипса с фокусами на оси Ох, если он проходит через точки: 1) а (6; 4) и 2? (8; 3); 2) а (у/2; 2) и в (2; у/з).
- •§ 4. Гипербола
- •Составьте уравнение гиперболы с фокусами на оси Ох, если ее действительная ось равна 24, а мнимая ось равна 40.
- •Составьте уравнение гиперболы с фокусами на оси Ох, если длина ее действительной оси равна 12, а расстояние между фокусами равно 20.
- •Составьте уравнение равносторонней гиперболы с фокусами на оси Ох, если гипербола проходит через точку: 1) а( — 5; 4); 2) в{8; 2).
- •§ 5. Парабола с вершиной в начале координат
- •Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, если ее фокус находится в точке f(3; 0)
- •Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси Оу и проходящей через точку а{4; 2).
- •Составьте уравнение параболы с вершиной в начале координат, если ее фокус находится в точке: 1) f(5; 0); 2) f(—4; о);
- •Составьте уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси Ох и проходящей через точку:
- •Составьте уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси Оу и проходящей через точку:
- •§ 6. Парабола со смещенной вершиной
- •Составить уравнение параболы, имеющей вершину а( 1; 2) и проходящей через точку м (4; 8), если ось симметрии параболы параллельна оси Ох.
- •Составьте уравнение параболы с осью симметрии, параллельной оси Ох, если парабола проходит через точку м и имеет вершину а: 1) м( 1; 3), а (-4; -2); 2) м(0; 0), а (-2; -4);
- •Составьте уравнение параболы с вершиной а и фокусом f:
- •Найдите координаты вершины параболы: 1)х2 —6х—67—
- •Составьте уравнение директрисы параболы: 1) 72 — 27—
- •§ 7. Касательная и нормаль к кривой
- •Составьте уравнение касательной и нормали к кривой:
- •§ 8. Смешанные задачи
- •Найдите точки пересечения двух парабол, имеющих общую вершину в начале координат, а фокусы—в точках Fl (3; 0) и
- •Глава 20 прямые и плоскости в пространстве
- •§ 1. Параллельность прямых и плоскостей
- •§2. Перпендикулярность в пространстве.
- •§3. Смешанные задачи
- •Глава 21 векторы в пространстве
- •§ 1. Основные понятия. Прямоугольная система координат в пространстве
- •Правила действий над векторами, заданными своими координатами.
- •Назовите три упорядоченные пары вершин тетраэдра abcd, задающие коллинеарные векторы, и по три упорядоченных пары, задающих компланарные и некомпланарные векторы.
- •Постройте точки: а(2; 3; 4); в( — 2; —3; —4); с( — 2; — 3; 4); d{2; -3; 4); е(-2; 3; 4); f(2; 3; -4); g(0; 0; 2); н(3,0; -4).
- •Постройте вектор ав, если: 1) а (2; —3; 4) и /?( — 3; 2; —5);
- •Зная координаты точек а (4; —3; 2) и 2?( — 2; 4; —3), лг(0; 5; 1)
- •Найдите периметр треугольника, образованного векторами ав, вс и са, если л (8; 0; 6), в(8; -4; 6), с(6; -2; 5).
- •Отрезок л б задан координатами своих концов а( 4; 2; —3) и в (6; —4; —1). Найдите координаты точки с, делящей этот отрезок пополам.
- •§ 2. Скалярное произведение векторов в пространстве
- •§ 3. Векторное произведение
- •Найти векторные произведения: 1) 7xj; 2) ух£; 3) £х/;
- •§ 4. Смешанные задачи
- •Глава 22 уравнения прямой и плоскости в пространстве
- •§ 1. Плоскость
- •Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Дня
- •Составить уравнение плоскости, перпендикулярной оси Ох и проходящей через точку м0 (2; —1;3).
- •Составить уравнение плоскости, проходящей через ось Ох и точку м (3; 2; 4).
- •Составить уравнение плоскости, параллельной оси Oz и проходящей через точки Mi (3; —1; 2) и м2 (—2; 3; 4).
- •5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку м0 (2; —1; 3) и параллельной векторам а (3; 0; —1) и ь* (—3; 2; 2).
- •§ 2. Прямая в пространстве
- •Составить уравнения прямой, параллельной оси Ох и проходящей через точку м( 1; 1; 1).
- •Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через начало координат и точку а (2; —3; —2).
- •Составить уравнения прямой, проходящей через точки а (1; —2; — 1) и в (3; 0; 4).
- •Составьте уравнения прямой, параллельной оси Oz и проходящей через точку м(2; — 1; 3).
- •Составьте параметрическое уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку м (1; 4; —3).
- •Составьте уравнения прямой, проходящей через точки л(-2; -1; -3) и в (0; 2; 1).
- •§ 3. Плоскость и прямая
- •Составьте уравнение плоскости, проходящей через прямую
- •§ 4. Смешанные задачи
- •Составьте уравнения плоскости, проходящей через ось Oz и точку а (1; —2; 1).
- •Составьте уравнение плоскости, если точка м(2;—1;2) служит основанием перпендикуляра, опущенного на эту плоскость из начала координат.
- •Глава 23 многогранники и площади их поверхностей
- •§ 1. Призма
- •§ 2. Площадь поверхности призмы
- •§ 3. Пирамида. Усеченная пирамида
- •§ 4. Площадь поверхности пирамиды и усеченной пирамиды
- •§ 5. Смешанные задачи
- •Глава 24 фигуры вращения
- •§ 1. Цилиндр
- •§ 2. Конус. Усеченный конус
- •§ 3. Сфера, шар
- •§ 4. Вписанная и описанная сферы
- •Глава 25 объемы многогранников и фигур вращения
- •§ 1. Объем параллелепипеда и призмы
- •§ 3. Объем усеченной пирамиды
- •Стороны одного основания усеченной пирамиды равны 27, 29 и 52 см; периметр другого основания равен 72 см; высота пирамиды равна 10 см. Вычислите объем пирамиды.
- •§ 4. Исследования на экстремум в задачах на объемы многогранников
- •Из всех прямых параллелепипедов с данной площадью полной поверхности s и квадратным основанием найти тот, который имеет наибольший объем.
- •§ 5. Объёмы фигур вращения
- •§ 6. Исследования на экстремум в задачах на объемы фигур вращения
- •§ 7. Вычисление объемов фигур вращения с помощью определенного интеграла
- •§ 8. Смешанные задачи
- •Глава 26 площади поверхностей фигур вращения
- •§ 1. Площади боковой и полной поверхностей цилиндра
- •§ 2. Площади боковой и полной поверхностей конуса
- •§ 3. Площади боковой и полной поверхностей усеченного конуса
- •§ 4. Площадь поверхности сферы и ее частей
- •§ 5. Исследования на экстремум в задачах на площади поверхностей фигур вращения
- •§ 6. Вычисление площадей поверхностей фигур вращения с помощью определенного интеграла
- •§ 7. Смешанные задачи
- •Раздел IV
- •Глава 27 ряды
- •§ 1. Числовые ряды
- •§ 3. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признак сходимости лейбница для знакочередующихся рядов
- •§ 4. Вычисление суммы членов знакочередующегося ряда с заданной точностью и оценка остатка ряда
- •§ 5. Степенные ряды
- •§ 6. Разложение функций в степенные ряды
- •Разложить в ряд Маклорена функцию:
- •Разложите в ряд Маклорена функцию:
- •§ 7. Применение степенных рядов к приближенным вычислениям значений функций
- •§ 8. Вычисление определенных интегралов с помощью степенных рядов
- •41. Вычислить интеграл
- •Глава 28 ряды фурье
- •§ 2. Ряд фурье для нечетной функции
- •§3. Ряд фурье для четной функции
- •§5. Разложение в ряд фурье функции, заданной в произвольном промежутке
- •§6. Разложение в ряды фурье некоторых функций, часто встречающихся в электротехнике
- •21. Разложите в ряд Фурье функцию двухполупериодного выпрямленного синусоидального тока (рис. 194).
- •Глава 29 двойные интегралы
- •§ 1. Функции нескольких переменных
- •§2. Частные производные и полный дифференциал
- •Найти частные производные функции:
- •§3. Двойной интеграл и его вычисление
- •Основные свойства двойного интеграла. 1°. Двойной интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме двойных интегралов от слагаемых функций:
- •12 12 Вычислим сначала внутренний интеграл по переменной у, считая х постоянным:
- •§ 4. Двойной интеграл в полярных координатах
- •§ 5. Вычисление площади плоской фигуры
- •9 Область d запишем в виде системы неравенств
- •§ 6. Вычисление объема тела
- •Вычислите объемы тел, ограниченных заданными поверхностями:
- •Вычислите объемы тел, ограниченных заданными поверхностями (для вычисления интегралов используйте полярные координаты):
- •§ 7. Вычисление площади поверхности
- •Вычислите площади:
- •Вычислите площади (при вычислении интеграла используйте полярные координаты):
- •Вариант
- •§ 8. Вычисление массы плоской фигуры
- •Найдите массу треугольной пластинки, ограниченной прямы-
- •§ 9. Вычисление статических моментов плоской фигуры
- •Треугольника с вершинами о (0; 0), а (6; 0), в (0; 8);
- •§ 10. Координаты центра тяжести плоской фигуры
- •Найдите координаты центра тяжести треугольной пластинки,
- •§ 11. Вычисление моментов инерции плоской фигуры
- •Найти момент инерции однородного квадрата со стороной, равной 3, относительно одной из его вершин.
- •Вариант
- •Вариант
- •Найдите моменты инерции 1х,
- •Глава 1
- •Глава 2
- •0,3%. 17. 0,94; Верные цифры 9 и 4. 18. 2,51 ±0,005. 22. 0,4%. 23. 0,06%.
- •Глава 3
- •4. 1), 2) Да; 3) нет. 5. 1) 0; 2) 2/3; 3) 1/4; 4) нет решения. 6. 1) 10/19;
- •9 И 12 см. 80. 12 и 16 см. 81. 8 и 12 см. 82. 18 чел. 83. 6 и 12 дней. 84. 2 и
- •Глава 4
- •Глава 5
- •Последовательности 2), 4), 5), 6), 7) и 8).
- •Глава 6
- •Глава 7
- •Глава 8
- •Глава 9
- •56 М. 14. 1,08 м. 15. 4,59 рад. 16. 0,75 м. 17. 0,2 м. 18. Тс/2 с. 19. 3 м/с. 20. 6 рад/с; —2 рад/с2; через 5 с. 21. Тс/9, тс/3, 5тс/9. 22. Я/3, 4я/9, 5я/9, 2тс/3. 23.
- •7; 3) 1; 4) 0; 5) —1; 6) -1/2. 88. 1) 2Sin2a; 2) 3; 3) 2cosa; 4) 2. 92. Равенства
- •, 7), 8) Неверны. 93. 1) 0,4188; 2) 1,4836; 3) 0,1746; 4) 1,3963; 5) 0,2618; 6)
- •Глава 10
- •18,66; 5) 1,002. II вариант. 1) 0,12; 2) 0,2%; 3) 0,002; 4) 87,6; 5) 1,14.
- •(1/8)X—(1/32)sin4xH-c. 99. — (1/8)cos4x—(1/12)cos6xH-c. Зачетная работа. I вариант. 1) 2x3/2/34-6x5/6/54-ln |X|4-c; 2) arcsin(2x/3) —e"x4-c;'
- •Глава 12
- •Глава 13
- •160 Дж; 4) 19 614л: Дж; 5) 147 105 н. II вариант. 1) 54 м; 2) 250 Дж;
- •Глава 14
- •Глава 15
- •Глава 16
- •0,51. 64. 0,111. 65. 0,00833. 66. 0,54. 67. 0,107. 68. 0,979. 69. 0,117. 70. 0,242. Зачетная работа. I вариант. 2) 8; 3) 4; 4) 0,1; 5) 0,758. II вариант. 2) 3;
- •Глава 17
- •2. (11; 1). 3. В треугольник с вершинами (—5; 1), (1; 3), (2; —2). 5. 1) 7;
- •(0; 5). 88. 1) (-5; -5); 2) (1; -5); 3) (-5; -1); 4) (1; -1). 89. О (4; 4), Ot (—4; —4). 90. (3; —5). 91. Абсцисса и ордината точки поменяются
- •Глава 18
- •Глава 19
- •Глава 20
- •А2уп/16. 8. A2/2/4. 11. Три пары. 12. Aj3/3. 13. 48 см. 14. 12 см.
- •Аах. 13. Тройки векторов 2), 6), 7) компланарны; тройки векторов 1), 3),
- •Глава 22
- •Глава 23
- •Глава 24
- •27Ясм2. 91. 150 см2. 92. 24я см2. 93. 1) 2пг; 2) rtg(a/4). Зачетная работа.
- •Вариант. 1) 2л/(2 ctg (a/2)); 2) 144 см2. II вариант. 1) 4flf2tg2(a/2);
- •Глава 25
- •Ка3. Зачетная работа. I вариант. 1) 4,/3 см3; 2) ка3 sin2a/(6cosa);
- •Я/2 куб. Ед. II вариант. 1) 360 см2; 2) 2яя3 sin a cos2 (a/2); 3) 16я/15 куб. Ед.
- •Глава 26
- •2Sjcos2 (a/4). 68. 25/3. 69. 0,5 ctg2 (a/2)cos2 (a/2)cos-1 a. Зачетная работа.
- •Вариант. 1) 4v/2kScos(45° —a/2); 2) nl2/ cos2 a. II вариант. 1) 8тш2 cos2 (a/2); 2) 47i/2sin2atg2(45° — a/2).
- •Глава 27
- •Глава 28
- •Глава 29
- •§ 2. Необходимый признак сходимости ряда. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
- •§ 1. Тригонометрический ряд фурье
§ 13. Смешанные задачи
Вычислите:
sin 9135°+cos (- 585°)+tg 1395°+ctg (- 630°);
sin (- 810)+cos (- 900°)+tg (- 395°) ctg 575°;
sin (- 2383°) - sin (- 2023°)+cos (-485°) - cos (-125°);
3tg930°+sin 1200°—cos 1410°;
cos 510°—sin 480°+cos 840° + sin 1230°;
sin (-1 Зтс/6)+cos (17rc/3)+tg (22ti/3) - ctg (37я/4);
sin (—47я/3)—tg (21 я/4)+tg (—23я/4)—ctg (19я/6).
Упростите:
sin (a—Зя/2) cos (2я—a)—sin (я—a) sin (я+a);
. tg (a—я/2)—ctg (я—a)+cos (a—Зя/2) sin (я+а)
Докажите тождества:
. cos2 (Зя/2—a) cos2 (—a)
tg2(a—2я) +tg2(a—Зя/2) sin (я+ос) tg(ot-rc) cos(2я—a) ^ ^ ctg (л/2 —a) ctg (71 +a) cos (Зя/2—a)
1-ctg2 (а-Зя/2) tg(a—я/2) = ctg (a+я/2) 1 — ctg2 (a - 2я)
Решите уравнения:
cos2(tc—х) + 8соз(я+х) + 7 = 0;
2cos2(x—я)+3зт(я+х) = 0;
2 sin2 x+5 sin (Зя/2 —x) — 2 = 0;
5cos2(x—Зя/2) —2cos(x—я/2) = 0;
3sin2(x—Зя/2) —cos (х+4я) = 0;
5tg2(x^)+12tg^-x) = 0;
2 tg2 (Зя/2+x) + 3 tg (я/2+x) = 0.
ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА
вариант
Упростите
cos (Зя/2+a) tg (я/2—a)—
sin (я/2— a) +ctg (Зя/2—a)—
-ctg (я/2-a).
Вычислите ctg 225° — —ctg 675°—cos 495° + + cos 765°.
Докажите тождество sin (я — a) ctg (я/2 — a) cos (2я—a)
tg (я 4- a) tg (я/2 4- a) sin (- a) = sin a.
Решите уравнение sin2 (x—я)+6 cos (x—я/2) x
x С08(х+я)+8 sin2 (jc—Зя/2) = = 0.
Решите уравнение ctg2 (x—я/2)—ctg (jc—Зя/2)— -2 = 0.
вариант
Упростите sin (a—2я) x x cos (Зя/2—a) 4- tg (я—a) x
x tg (Зя/2 4- a) 4- cos2 (я/2—a).
Вычислите
cos2 336°—cos2 156° 4- tg 100° tg 350°
tg2 72° 4-ctg2 162°
tg2 18°
'
Докажите тождество sin2 (Зя/2 4-a) sin2 ( — a) ^
ctg2 (a—2я) ~*~ctg2(a—Зя/2)
Решите уравнение sin2 (x4-я)—10 sin (jc4-я) x
x cos (jc—я) 4- 21 sin2 (Зя/2+x) =
= 0.
Решите уравнение ctg2 (х - Зя/2) - 4 tg (х - я)+
+ 3 = 0.
§ 14. Тригонометрические функции алгебраической суммы двух аргументов (формулы сложения)
Для нахождения тригонометрических функций суммы и разности двух аргументов применяются следующие формулы:
sin (a+Р)=sin a cos (3+cos a sin (3; (9.34)
sin (a—P)=sin a cos |3—cos a sin |3; (9.35)
cos (a+P)=cos a cos P—sin a sin P; (9.36)
cos (a—P)=cos a cos P+sin a sin P; (9.37)
tg(a+p)=^i^, a¥^pk+\), 0#^(2fc+l), tgatgMl; (9.38)
tg(«-P)=1t^gat^,
ot*|(2fc+l), P#^(2* + l), tgatgP#-l;
q^o q[ ctfi В 1
ctg(a+p)= —, a^nk, р#як, a^-p+jtfc; (9.40)
ctg a+ctg p
v ctg a ctg В +1
ctg(a—(3)= , аФпк, р#я£, a^p+rcfc. (9.41)
ctg p—ctga
Вычислить:
1) sin(a+p), если sina=3/5, cosP=—5/13, я/2<ос<я, я<р<Зя/2; 2) sin (a—P), если cos a =—4/5, sin P=—24/25, я<а<Зя/2, Зя/2 < P < 2я; 3) cos (a+p), если tg a = — 24/7, tg p = 15/8, я/2 < a < я, я<р<Зя/2.
О 1) Найдем cosa и sinp при условии л/2 < a < я, я<Р<Зя/2: cosa= — ^/l — (3/5)2 = -4/5, sin Р= -Jl — ( —5/13)2 = —12/13. По формуле (9.34) получим
sin (a + Э)=(3/5) - (—5/13)+(—4/5) • (— 12/13)=33/65.
Находим sina=-N/l-(4/5)2=-3/5; cosР=^/l — ( —24/25)2 = 7/25. По формуле (9.35) получим
sin (a - р)=(- 3/5) • (7/25) - (- 4/5) • (- 24/25) = -117/125.
Из формулы l+tg2a=l/cos2a имеем cosa= = ± l/^/l+tg2 а. Учитываем, что п/2<а<п, находим cosa= -\lj\ +(-24/7)2= -7/25, sin a=У1 - (- 7/25)2=24/25. Аналогично находим cos(3 = — 8/17 и sinp = — 15/17. По формулам (9.36) получаем
cos (a+р)=(■- 7/25) • (- 8/17) - (24/25) • (-15/17)=416/425. ф
1) sin (arcsin (3/5) +arcsin (4/5)); 2) cos (arccos (3/5) +arcsin (8/17)).
О 1) Обозначив arcsin (3/5) = а и arcsin (4/5) = p, имеем sin a=3/5,
7i/2<a<rc/2 и sinp = 4/5, — я/2<р<я/2. Находим cosa=N/l —(3/5)2=4/5 и cos p=y/\ — (4/5)2 = 3/5. Следовательно,
sin (arcsin (3/5)+arcsin (4/5))=sin (a+p) = sin a cos p+cos a sin p =
=(3/5) • (3/5)+(4/5) - (4/5) = 1.
2) Обозначив arccos(3/5) = a и arcsin (8/17) = p, имеем cos a = 3/5, О^а^яи sin p = 8/17, —tc/2<P<7i/2. Находим sin a=у/1 — (3/5)2=4/5 и cos p = = >/Г^(8/Т7)2 = 15/17. Таким образом,
cos (arccos (3/5) + arcsin (8/17))=cos (a+P)=cos a cos P —
sin a sin p=(3/5) (15/17)- (4/5) (8/17)= 13/85. *
1) sin 20° cos 40° +cos 20° sin 40°; 2) cos47°cos 17° + + sin 47° sin 17°.
О 1) sin 20° cos 40°+cos 20° sin 40° = sin (20°+40°) = sin 60° = ^/3/2;
2) cos 47° cos 17° + sin 47° sin 17°=cos (47° —17°)=cos 30° = y/bjl. ф
1) tg(a+p), если tga=l/5, tg|3 = 2/3; 2) ctg (a —13), если tga=3/2, tg (3 = 5/2; 3) tg(rc/4 + a), если sin a =12/13, я/2<а<я.
О 1) По формуле (9.38) получим
tg(«+P)=1_(/1/5).J2/3)=l.
Находим ctga= l/tga=2/3, ctgp= 1/tg(3 = 2/5. По формуле (9.41) получим
(2/3) • (2/5) Ч-1 19
ctg (a—р)=-
По
формуле tga= находим
tga=
—
sin2 a Vl-(12/13)2
12
= ——. Подставив найденное значение тангенса, получим
. -12/5 7 ■Si Т+«|-ТТТ2/5““Т7- •
1) tg (arctg (1/2)+arctg (3/2)); 2) ctg (arcsin (4/5)+arctg 3).
О 1) По формуле (9.38) получим
/ /. ,л\ * tg arctg (1 /2)+tg arctg (3/2)
tg
(arctg (1/2)+arctg
(3/2))=
t
—tgarctg(l/2)tgarCtg(3/2)=
1/2+ 3/2 _=8
-(1/2) (3/2)
2) Обозначив arcsin (4/5)=а и arctg 3 = |3, получим sin a=4/5, —я/2 < a < я/2 и tg p = 3, — я/2<р<я/2. Далее, находим ctg a = 3/4; ctg P= 1/3. По формуле (9.40) получим
(3/4)(l/3)— 1 9 ctg (arcsin (4/5)+arctg 3)=ctg (a+0)= = - —. •
tg (я/4 ~b a)—tg ОС
174. Упростить: 1) sin a cos2a+cosasin 2a; 2)
l+tg^/4+a)tga‘
О 1) Используя формулу (9.34), получим
sin a cos 2a 4- cos a sin 2a = sin (a+2a)=sin 3a.
Используя формулу (9.39), получим tg (я/4+a)—tga
= tg^/4+a—a) = tg^/4)=l. •
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]