§ 11. Свойство полупериода синуса и косинуса

Функции синус и косинус при увеличении или уменьшении аргумента на я изменяются только по знаку:

Рис. 58

sin а = — sin (а ± я); (9.30)

cosa= —cos (а±я). (9.31)

Если к аргументу прибавить я, умноженное на любое нечетное число, то получатся формулы

sina= — sin[a+rc(2fc+l)], (9.32) cosa= — С08[а + я(2А:+1)], (9.33)

т. е. функции синус и косинус при изменении аргумента на л (2А;+1) изменяются только по знаку.

124. Вычислить: 1) sin 150°; 2) sin (—120°);

2. cos(—240°); 5)sin570°; 6) sin(-585°); 7)cos600°.

О В примерах 1)—4) используем формулы (9.30) и (9.31), а также свойства четности и нечетности тригонометрических функций:

1. sin 150° = - sin (150° -180°) = - sin (- 30°) = sin 30° = 1 /2;

2. sin (-120°) = - sin (-120° +180°) = - sin 60° = - ^3/2;

3. cos225°= -cos(225°-180°)= -cos45°= -^2/2;

4. cos(—240°)= -cos(-240°+180°)= -cos(-60°)= -cos60°= -1/2.

В примерах 5)—7) применяем формулы (9.32) и (9.33):

5. sin 570° = - sin (570° -3180°) = - sin 30° = -1 /2;

6. sin(—585°)= —sin(—585° + 3• 180°)= -sin(-45°)=sin45°=_v^/2/2;

7. cos600°=-cos(600°-3 -180°)=-cos60° =-1/2. •

124. Вычислить: 1) sin(—7я/6); 2) cos(—2я/3); 3)sin7^7c. ° ⁰ “("?)= "Sin(-lJ*+*)—sm(-^«sm|=l;

/ 2я\ / 2я \ я 1

2. cos I 1= -cos I -у н-я 1= cos~ = --;

1 . / 1 \ . я Jb

2. 8т7-я=-sml 7-я—7я 1=-sin-=--y. •

Вычислите:

124. 1) sin(—225°); 2) cos(-150°); 3) cos 135°; 4) sin 135°;

2. sin 210°; 6) cos 570°.

124. 1) sin (2n/3); 2) cos (—Зя/4); 3) sin (5я/4); 4) sin (—5я/4);

sin (3 1tc/6); 6) cos(57t/4).

124. I) sin(—2,76); 2) cos(-3,87); 3)cos4,33; 4) sin4,26.

2. cos 225°;

Формулы приведения позволяют выразить тригонометрические функции углов п/2 ± а, я+а, Зя/2 ± а, 2я±а через тригонометрические функции угла а (табл. VI).

При применении формул приведения рекомендуется пользоваться следующими правилами:

1. Если а откладывается от оси ОХ, то наименование приводимой функции, т. е. функции аргумента—а, я + а, 2я + а, не изменяется. Если же а откладывается от оси OY, то наименование приводимой функции, т. е. функции аргумента я/2 + а, Зя/2 ± а, заменяется на сходное (синус—на косинус, тангенс — на котангенс, и наоборот).

2. Знак, с которым нужно брать тригонометрическую функцию в правой части, находится по знаку левой части в предположении, что 0<а<я/2.

124. Составить формулу приведения для tg (Зтс/2 + а).

О Так как а откладывается от оси OY, то тангенс следует заменить на котангенс. Формула верна при всех допустимых значениях аргумента а, следовательно, она верна и для 0<а<я/2; но в этом случае дуга Зя/2 4-а оканчивается в IV четверти, в которой тангенс отрицателен. Значит, tg (Зя/2+а) = — ctg а. ф

Таблица VI

	Функция Аргумент	sin	cos	tg	ctg
1	— a	— sin a	cosa	-tga	-ctga
2	я/2-a (90°-a)	cosa	sin a	ctga	tga
3	я/2 4-a (90° +a)	cosa	— sin a	-ctga	-tga
4	я — a(180° — a)	sin a	—cosa	-tga	-ctga
5	я 4-a (180° +a)	— sin a	—cosa	tga	ctga
6	Зя/2-a (270°-a)	—cosa	— sin a	ctga	tga
7	Зя/2 4-a (270° 4-a)	—cosa	sin a	-ctga	-tga
8	2я — a (360° — a)	— sin a	cosa	-tga	-ctga
9	2я + а(360° + а)	sin a	cosa	tga	ctga

Вычислить: 159. 1) sin 135°; 2) ctg 150°; 3) cos 70°; 4) cos 240°; 5) sin 310°;

2. tg320°.

О 1) sin 135° = sin (90° 4- 45°) = cos 45° = y/2/2;

2. ctg 150°=ctg (90° + 60°) = - tg 60° = - 73;

3. cos 70°=cos (90° - 20°)=sin 20° =0,3420;

2. cos 240°=cos (270° - 30°) = - sin 30° = -1/2;

3. sin310° = sin(270°4-40°) = -cos40° = -0,7660;

4. tg 320° = tg (270° 4-50°)=-ctg 50° =-0,8391. •

160. 1) sin225°; 2) cos 150°; 3) tg210°; 4) sin330°; 5) tg315°;

cos 240°; 7) sin 200°; 8) ctg 140°.

О 1) sin 225° = sin (180° 4- 45°) = — sin 45° = — >/2/2;

2. cos 150°=cos (180° - 30°) = - cos 30° = - >/з/2;

3. tg 210° = tg (180° 4- 30°) = tg 30°=>/3/3;

4. sin 330° = sin (360° - 30°) = - sin 30° = -1/2;

5. tg 315° = tg (360° - 45°) = - tg 45° = -1;

6. cos240°=cos(180°4-60°)= -cos60° = -1/2;

7. sin 200° = sin (180° 4- 20°) = - sin 20° = - 0,3420;

8. ctg 140^o=ctg(180°-40^o)=-ctg40°=-1,1918. *

160. 1) sin 2,15; 2) tg4,85.

О 1) sin 2,15=sin (3,14—0,99)=sin 0,99=sin 57° =0,84;

2. tg4,85=tg(4,85 —3,14) = tg 1,71 = tg(l,57+0,14)= —ctg0,14=

= —ctg8°= —7,1. •

Вычислите:

160. 1) cos 150°; 2) tg 135°; 3) sin 120°; 4) ctg 130°; 5) cos210°;

sin 260°; 7) tg220°; 8) ctg 200°; 9) sin 210°; 10) sin 350°; 11) cos 280°; 12) tg340°; 13) ctg325°; 14) sin345°; 15) cos295°; 16) tg335°.

160. 1) cos 225°; 2) sin 150°; 3) ctg 210°; 4) tg225°; 5) cos 315°;

tg 120°; 7) ctg 150°; 8) sin220°; 9) cos230°; 10) tg250°; 11) sin315°; 12) cos 340°.

160. 1) sin 3,52; 2) cos 3,68; 3) ctg 5,11.