§ 10. Тригонометрические неравенства

Простейшими тригонометрическими неравенствами называются нера­венства

sinх<т, sinх>т, cosх<т, cosх>т, tgх<т, tgх>т, ctgх<т, ctgх>т,

где т—данное число.

Решить простейшее тригонометрическое неравенство—значит найти множество всех значений аргумента (дуг или углов), которые обращают данное неравенство в верное числовое неравенство.

Решить неравенства:

124. 1) sinx<l/2; 2) |sinx|> 1/2.

О 1) Учитывая свойство ограниченности синуса, данное неравенство

можно переписать так: —1<sinx<1/2. Имеем АМ₁=п/6, АМ₂ = —п—п/6=

= — 1п/6 (рис. 54). Неравенству sinx <1/2 удовлетворяют дуги из промежутка

• 1п/6<х<к/6. В силу периодичности синуса общим решением служит множество дуг вида —1п/6+2кк<х<п/6+2%к.

2. Это неравенство выполняется для всех дуг х_х <х<х₂ и х₃<х<х₄, где х₁=п/6, х₂ = п —7i/6 = 5tc/6, х₃=х₁+я = 71/6+я и х₄=х₂ + я=5я/6 + я, т. е. для п/6<х<5п/6 и к/6 + п<х<5к/6+% (рис. 55). Общим решением служит множество дуг вида п/6 + пк<х<5п/64-пк. #

124. 1) cosx> —1/2; 2) cosx< —1/2; 3) lcosx^^/2/2.

О 1) Перепишем данное неравенство так: — l/2<cosx^l. Неравенству cosх> —1/2 удовлетворяют дуги из промежутка —2п/3<х<2п/3 (см. рис. 51). Общим решением служит множество дуг вида — 2п/3 + 2пк<х<2п/3 + + 2пк.

2. Учитывая свойство ограниченности косинуса, неравенство можно переписать так: —1< cos х < — 1 /2. Имеем: АМ₁ = п—п/3 — 2тс/3, АМ₂ =

= я+я/3=4я/3 (рис. 56). Неравенству cos х > — 1/2 удовлетворяют дуги из промежутка ]2я/3, 4я/3[. В силу периодичности косинуса общим решением служит множество дуг вида 2тг/34-2пк<х<4тг/3 + 2пк.

2. Это неравенство выполняется для всех дуг х₂<х<х₁ и *₄<*<x₃, где х₁=п/4, х₂ = — л/4, х₃=х₁+п = п/4+п и х₄=х₂—л = —к/4—к, т. е. для

• п/4<х<п/4 и — к/4—п<*<7i/4+п. Общим решением неравенства служит множество дуг вида — п/4+кк<х<п/4+пк (рис. 57). ф

124. 1) tgx>y/3; 2)ctgx>l.

О 1) Учитывая свойство неограниченности тангенса, имеем y/3<tgx< + оо. Неравенству tg х > у/з удовлетворяют дуги из промежутка 7i/3 <*< я/2. В силу периодичности тангенса общим решением служит множество дуг вида п/3+пк<х<п/2 + пк.

2. Учитывая свойство неограниченности котангенса, имеем

1. <ctgx< +оо. Неравенству ctg х > 1 удовлетворяют дуги из промежутка 0<х<п/4 (рис. 58). Общим решением служит множество дуг вида пк<х<п/4+пк. ф

124. 1) sin(jc/2)> 1/2; 2)tg2*<-l.

О 1) п/6 + 2пк<х/2<5п/6+2кк, п/3+4пк<х<5п/3+4пк.

2. — п/2 + пк<2х< — п/4+пк, —п/4+кк/2<х<п/к + пк/2. Решите неравенства:

124. 1) sinx<0; 2) sinx>0; 3) sin л: < 1; 4) sin л; < — 1/2;

2. sin х>— 1/2; 6) sin л:> — ^/3/2; 7) |sin л:| < 1/2; 8) sin лг> 1/2.

124. 1) cosx<0; 2) cosjt>0; 3) cosx> — 1; 4) cosx<l; 5) cosx<l/2;

2. cosx> 1/2; 7) |cosx|<l/2.

124. 1) tgx<-₄/3; 2)tgx>-_v/3; 3)\tgx\<y/3.

125. 1) ctgjc< — 1; 2)ctgx>—1; 3)ctgx>_x/^/3; 4)|ctgx|<l.

126. 1) sin 2x < — 1 /2; 2) cos (x/2) > — 1 /2; 3) ctg (лг/З) > 1;

tg3x> — 1; 5) sinx> — 1; 6) sinx< —>/2/2; 7) sinx> — ,/2/2;

7. cosx< — y/b/2; 9) tgx<>/3/3; 10)ctgx<l.

ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА

1. II вариант

   Решите неравенство и уравнения:

   вариант

Решите неравенство и уравнения:

1. sin (х/2)<0;

2. cos (х/2)=0;

3. sin Зх=0,5;

4. 2cos*+tg*—2tg*cos*— 1 =0;

5. 2 sin²*—3 cos²*+sin* cos *=0.

2. 3 sin (x/2+я/6) = 3/2;

3. cos2*tg*=0;

4. 4 sin³*+4 sin²*—3sin*—3 = 0;

5. 3 sin²*+ 2 sin * cos*—5 cos²*=0.