38. Записать главные дуги, котангенс которых равен: 1) у/3/3;

-1; 3)^/3; 4) -^3.

О 1) a=arcctg(_N/3/3)=Tt/3; 2) а=я—arcctg 1 =п—я/4=Зк/4; 3) а= = arcctg у/3 = п/6; 4) а=п—arcctg у/з = п—п/6 = 5п/6. ф

38. Построить главные дуги arcctg 1 и arcctg(—1).

О Построение выполнено на рис. 47: АМ± = arcctg 1 = тс/4; АМ₂ = п —

• arcctg 1 = 7i—тг/4=Зтс/4. ф

38. Записать множество дуг, котангенс которых равен _ч/з.

О На окружности имеются две точки, служащие концами дуг и а₂, котангенс которых равен у/3: а! = arcctg у/3 = п/6 и a₂ = arcctg_N/34-7t = 7i/64-7i. Следовательно, искомое множество дуг выражается формулой

а=к/6 + кк (kеZ). ф

38. Запишите главные дуги, синус которых равен: 1) 1/2;

^2/2; 3) -У2/2; 4) -^3/2; 5) 3/4.

38. Запишите множество дуг, синус которых равен: 1) у/з/2;

-1/2; 3) 1; 4) -^2/2.

38. Постройте дуги, синус которых равен: 1) 1/3; 2) —2/3; 3) 0,6. Запишите множество дуг, соответствующих этим значениям синуса.

39. Запишите множество дуг, косинус которых равен: 1) —1/2;

Уз/2; 3) —^/2/2; 4) -^3/2.

38. Постройте дуги, косинус которых равен: 1) 4/5; 2) —4/5;

0,6. Запишите множество дуг, соответствующих этим значениям косинуса.

38. Запишите главные дуги, тангенс которых равен: 1) у/З/З;

2) -УЗ; 3) 1/2; 4) -0,7.

38. Запишите множество дуг, тангенс которых равен: 1) 0;

2. ^3/3; 3) -1; 4) -у/3; 5) у/2.

38. Постройте дуги, тангенс которых равен: 1) —2/3; 2) 2;

2. —1,5. Запишите множество дуг, соответствующих этим значениям тангенса.

38. Запишите множество дуг, котангенс которых равен: 1) -УЗ/З; 2) -УЗ; 3)1; 4) 1/2.

39. Постройте дуги, котангенс которых равен: 1) —2; 2) 0,8;

—2/3. Запишите множество дуг, соответствующих этим значениям котангенса.

§ 9. Тригонометрические уравнения

Простейшими тригонометрическими уравнениями называются уравнения

sinx=m, cosx=m, tgx — m, ctgx=m,

где m—данное число.

Решить простейшее тригонометрическое уравнение—значит найти мно­жество всех значений аргумента (дуг или углов), при которых данная тригонометрическая функция принимает заданное значение т.

Решить уравнения: 123. 1) $inx=m; 2) sinл:= 1 /2.

О 1) Если |/и|<1, то на единичной окружности имеются две дуги arcsin т и я—arcsin m, синус которых равен т и концы которых симметрич­ны относительно оси OY (рис. 48).

Дуга ai —я/2 < arcsin равен т, наз] ем уравнен» всех искомы: уравнению s бавлением к любого цело!

ч

х-\

;in т из промежутка т^п/2, синус которой лвается главным решени- [я sinx=m. Множество к дуг, удовлетворяющих in jc=w, находится при- найденным двум дугам "О числа периодов синуса:

arcsin m+2nk, я—arcsin т + 2 nk,

\ arcsin m+2nk,

[—arcsin т + я(2/г+1).

Множество корней уравнения можно записать одной формулой (см. задачу 97):

jc=(— 1)"arcsinт + пп (иеZ).

В дальнейшем при записи ответа решения тригонометрического уравне­ния (или неравенства) будем считать, что параметры к, п, т могут принимать

любые целые значения, но при этом ради краткости записи не будем указывать, что fceZ, «eZ, weZ.

Если \m\>\, то уравнение решений не имеет.

Частные случаи:

sin jc = — 1, х= —к/2 + 2кк, sinx=0, х=пк, sin jc = 1, х=п/2+2пк.

2) Главным решением является дуга АМ₁=п/6 из промежутка

• л/2 < я/6 < л/2, синус которой 1/2 (рис. 49). Множество корней уравнения имеет вид (— 1)"я/6+яи. #

124. 1) cosх=т\ 2) cosa: =— 1/2.

О 1) Если |m|< 1, то на единичной окружности имеются две симметрич­ные относительно оси ОХ дуги: АМ_Х= arccosт и АМ₂ = — arccosт, косинус

которых равен т (рис. 50).

Дуга arccos т из промежутка 0 < arccos я, косинус которой равен т, называется главным решением уравнения cos х=т. Множество всех искомых дуг, удовлетворяющих уравнению cos х=т, находится прибавлением к найденным двум дугам любого целого числа периодов косинуса:

х=± arccos т+2 пк.

Если |т|>1, то уравнение решений не имеет.

Частные случаи:

cosx= — 1, х= ±п+2пк, или х=п(2к+1); cosx=0, х=п/2 + пк; cosx=\, х=2пк.

2) Главным решением является дуга АМ₁ = п — п/3 = 2п/3 из промежутка

0^271/3^71, косинус которой равен —1/2 (рис. 51). Множество корней уравнения имеет вид ±2п/3 + 2пк. #

124. 1) tgx=m; 2) tgx = _x/^/3.

О 1) Дуга arctg т из промежутка — п/2 < arctg т< я/2, тангенс которой равен /и, называется главным решением уравнения tg х=т. Множество всех

искомых дуг, удовлетворяющих уравнению tg х—т, находится прибавлением любого целого числа периодов тангенса: x=arctg т + кк. Частный случай: tgjc=0, х=пк. 2) Главным решением является дуга я/3 из промежутка

• я/2 < я/3 < я/2, тангенс которой равен у/з (рис. 52). Множество корней уравнения имеет вид п/З + пк. ф

124. 1) ctgx=m; 2) ctg л: = — 1.

О 1) Дуга arcctgт из промежутка 0<arctgт<п, котангенс которой равен т, называется главным решением уравнения ctgx=m. Множество всех искомых дуг, удовлетворяющих уравнению ctg х=т, находится прибавлени­ем любого целого числа периодов котангенса:

х=arcctg /И+пк.

Частный случай: ctgx=0, х=п/2+пк.

2) Главным решением является дуга АМ=п—п/4=Зп/4 из промежутка 0<3я/4<я, котангенс которой равен —1 (рис. 53). Множество корней уравнения имеет вид Зп/4+пк. ф

124. 1) sin2х= 1/2; 2) tg(3x+2)= -1; 3) cos(cosjc)= 1/2.

О 1) 2х=(— \)^кп/6+кк; множество корней уравнения имеет вид

I ) ₁₂⁺ ₂’

2. Зл:-|-2 = — п/4 + кк; Зх= — п/4—2 + пк; множество корней уравнения имеет вид

0. 71

   12

   пк

"з⁺Т^;

2. cosx= ±п/3 + 2пк; последнее уравнение не имеет корней, так как при любом feeZ его правая часть по абсолютной величине превосходит единицу, ф

124. 1) sin²х = т; 2) cos²х=т (0<w^l).

— 1)

^Л arcsin у/т,

[х = пк + ( — х = пк—( —

О 1) sin^ х=то\

arcsm Jm.

[sin х=у/т,

<

sin;c= —у/т

В этой записи решения множитель (—1)*, регулирующий знак вторых ч нов, является лишним. Если для некоторого целого к перед arcsin у/т в первой формуле берется знак плюс, то для этого же к во второй—знак минус, и наоборот (в зависимости от четности или нечетности к). Поэтому обе формулы можно объединить в одну, более простую:

х=пп± arcsin у/т.

, Г cos х=у/т, Гх=2пк± arccos у/т,

2) cosх=то\ _о| о

Lcos х = — у/т \_х=2пк ±(тг—arccos у/т)

(:

х = 2пк 4 arccos у/т,

х=п (2к ± l)4arccos у/т.

Объединив обе формулы, получим

х=пп± arccos у/т. %

124. 1) tg²jc=т; 2) ctg²х—т (т>0).

_ 1 \ * 2 Г tg х=у/т, [x=nk+arctg у/т, _г

О 1) tg лг=т о I ■о\ ох=пк± arctg у/т.

Ltg х = — у/т \_х=пк—arctg у/т

2) Аналогично находим х=пк± arcctg у/т. %

124. 1) 2sin²x—7sinx+3 = 0; 2) 4cos²*+sinx— 1 =0; 3) tgxcosx+ + tg x—cos x — 1⁼⁼ 0; 4) tg³Ar = tgx.

О 1) Решаем это уравнение относительно sinx:

Г sin:c= 1/2, [х=(-1)^кп/6 + пк, 2sin²jc-7smx+3=0o . o\ ^v '

|_sin;t=3 [нет решения.

Ответ: (—\)^kn/6 + nk.

2. Имеем

/ ? ч . 9 Г sin jc = — 3/4,

4:

4(1 — snrxl+sinx— 1 = 0<*>4sinх—sinx—3=0о . , о ' [_sinx=l

^х=(— 1 )^к+1 arcsin (3/4) + пк,

_x=nj2 + 2nk.

Ответ: (— 1)*⁺¹ arcsin (3/4)4- пк, п/2 + 2пк.

f(cosjc+l)(tgx-l)=0, J Ь

2. tgxcosjc4tgx—cosx—1 =0о< \ I tgлг= 1 о

{х*п12+кк I хФп/2+кк

\ ?A^}j^X=*^{2k+X^

Lx=Jt/4+irt oi хфп/2 + пк L x-m+nk.

Ответ: n (2k 41); n/4 + nk.

{хФп/2+кк j _{хфп/2 + пк}

Г х = Я&,

~х = пк,

-Zin+л" 1~±«/4+*.

л; = + л/4+я£о Ответ: я£; + 7i/4+я/г.

124. 1) sinx—cosx = 0; 2) sin²x—4sinxcosx+3cos²x = 0;

2. 2sin²x+5sinxcosx+cos²x—4 = 0.

fsinx/cosx= 1, ftg лг= 1,

О 1) smjc—cosx=0o< <=>< _tox=n 4+nk.

(cosjc^O [хФп/2 + пк

2. Решаем однородное уравнение:

С sin²* 4sinxcosjc 3cos²;t ^

sin²x—48шд:со8д:4-3со8²л:=0о>

cosx^O

tg²*—4tgx+3=0, 1 Г^= > 1 ^х=я/4+^ .

<=>\ |_ tg л: = 3 <=> л x = 2LTCtg3 + nko

хфп/ +nk ^ хФк/2 + nk I хфк/2 + nk

[х=к/4+кк, _л „

Ответ: я/4 + як, arctg 3 +як.

[jc=arctg 3 + я£.

2. Умножив свободный член на sin²*+cos²*, получим однородное уравнение:

1. sin² л:+5 sin л; cos*+cos² х—4 (sin² *+cos²*)=0,

или

2. sin² x—5 sin x cos x+3 cos² x=0.

2tg²x—5tgx+3=0oT|®’^,C I’.yJ"*

|_tgx=3/2 |_л: = а

Разделив все члены на cos²* (хфп/2+пк), получим

с=я/4+я£,

=arctg (3/2)4-лА:.

Ответ: я/44-пк, arctg (3/2)4-пк. #

Решите уравнения:

124. 1) sin х = >/2/2; 2) sinx = — y/l/2; 3) sinx= — ^/3/2; 4) sinx= = у/з/2; 5) sin*=4/5.

125. 1) cosx=l/2; 2) cosx=—>/2/2; 3) cosx= — ^/3/2; 4)cosx= = >/3/2; 5) cos x = — 0,3.

126. 1) tgx= — >/3/3; 2)tgx=l; 3) tgx= 1,327.

127. 1) ctgx=l; 2)ctgx=—>/3; 3) ctgx = — у/З/З; 4)ctgx = 2,05.

128. 1) sin(x/24-rc/6)= 1/4; 2) tg(3x4-1)= 1; 3) tg3x = _>/3/3;

sin тех = ^/5/2; 5) cosx² = 1.

124. 1) sin²x=l/2; 2)sin²x=l; 3)sin²x=3/4; 4) sin²x = 0.

125. 1) cos²x=l; 2) cos²x= 1/2; 3)cos²x=l/9; 4) cos²x=0.

126. 1) tg²x=l; 2)ctg²x=3; 3)tg²x=l/3.

127. 1) 2sin²x4-3cosx—3 = 0; 2) cos²x—cosx—2 = 0; 3) 5 ctg²x—

8ctgx4-3 = 0; 4) 3sin²x4-cos²x—2 = 0; 5) 7sin²x—5cos²x4-2 = 0;

6. tgx4-ctgx = 0; 7) sin²x—cos² x=cosx.

124. 1) cos2x=l; 2) tg(x—я/2)= 1; 3) tg(2x4-rc/2) = — 1;

tgx(sinx+cosx) = 0; 5) cosx(tgx—1) = 0; 6) tg(x/2)(l+cosx) = 0.

Рис. 54 Рис. 55

124. 1) sin2x/cos.x:=0; 2) cos²*+sinx cos* —1=0; 3) sinx = 1/cos x;

tg³x + tg²x—3tgx—3 = 0; 5) 2sinx—3cosx = 0.

124. 1) sin²x—10sinxcosx+21 cos²x=0; 2) 8sin²x-hsinxcosx+ +cos²x—4 = 0; 3) sin²x—6sinjtcosjt+5cos²x = 0; 4) 9sin²jt+25cos²jt+ + 32sinxcosx=25.