38. Записать главные дуги, синус которых равен: 1) 0; 2) — 1; 3) 1;

у/з/2; 5) -1/2.

О 1) а = arcsin 0=0; 2) а = arcsin (— 1) = — arcsin 1 = — я/2; 3) а=arcsin 1 = = я/2; 4) а=arcsin(^/3/2) = я/3; 5) а=arcsin(—1/2)= —arcsin(1/2)= —я/6, ф

38. Построить главные дуги arcsin (2/5) и arcsin (—2/5).

О Построение выполнено на рис. 41: АМ^ — arcsin (2/5), АМ₂ = = arcsin (—2/5) = — arcsin (2/5). •

38. Записать множество дуг, синус которых равен 1/2.

О На окружности имеются две точки, служащие концами дуг ^ и а₂, синус которых равен 1/2: а_х = arcsin (1/2) = я/6 и а₂=я—arcsin (1/2) = я—я/6. Следовательно, искомое множество дуг выражается формулами

а=я/6 + 2я£ и а=я—п/6+2пк= — я/6+я(2А:+1),

или

а=(— \)^пп/6 + пп(п eZ). ф

38. Найти множество дуг а, косинус которых равен а.

О На оси ОХ единичной окружности построим точку N (а; 0) и проведем через нее прямую, параллельную оси OY. Рассмотрим два случая.

Y>	*т\м, . г
( °	\Щ)
	1 х , rarcsinf-i

1. случай. Пусть \а\< 1; тогда прямая х=а пересечет единичную окружность в точках М₁ и М₂, симметричных относительно оси ОХ

(рис. 42). Точке соответствует дуга AM_i = arccos а, а точке М₂—дуга

AM₂= —arccosа. Каждая из этих дуг имеет косинус, равный а. Множество

дуг, оканчивающихся в точке и имеющих косинус, равный а, выражается формулой

а=arccos а+2кк [к е= Z),

а множество дуг, оканчивающихся в точке М₂ и имеющих косинус, также равный а,—формулой

а= — arccos я+2я£ (fceZ).

Эти две формулы можно объединить в одну: а= + arccos а+2nk (fceZ).

2. случай. Пусть а=± 1; тогда точка N(a; 0) совпадает с точкой ^4(1; 0), если а— 1, и с точкой С( — 1; 0), если а= — 1 (рис. 42). Множество дуг, оканчивающихся в точке Л(1; 0) (при а= 1), выражается формулой

а=2пк (fceZ),

а множество дуг, оканчивающихся в точке С(— 1; 0) (при а— — 1),— фор­мулой

a = 7i + 27ifc = rc(2fc+1) (fceZ).

Из всех дуг (углов), косинус которых равен а, где |я|<1, главной считается дуга arccos а из промежутка 0 < arccos а ^ п. ф

38. Записать главные дуги, косинус которых равен: 1) 0; 2) 1;

—1; 4) 1/2; 5) —у/2/2; 6) —3/4.

О 1) а=arccos0=я/2; 2) а = arccos 1 = 0; 3) a=arccos(—1)=я; 4) а=arc­cos (1 /2) = я/3; 5) а = arccos (—у/2/2) = я—arccos (у/2/2) = я — я/4=Зя/4; 6) а= = arccos (—3/4)=я—arccos (3/4). ф

38. Построить главные дуги arccos (2/3) и arccos ( — 2/3).

О Построение выполнено на рис. 43: АМ_Х = arccos (2/3), АМ₂ = arc­cos (—2/3) = я—arccos (2/3). ф

38. Записать множество дуг, косинус которых равен 1/2.

О На окружности имеются две точки, служащие концами дуг а_х и а₂, косинус которых равен 1/2: =arccos(1/2) = тс/3 и а₂=—arccos (1/2)=—тс/3. Следовательно, искомое множество дуг выражается формулой

а= ±п/3 + 2пк (fce=Z). ф

38. Найти множество дуг а, тангенс которых равен а.

О На оси тангенсов (рис. 44) построим точку N(1; а). Через эту точку и начало координат проведем прямую, которая пересечет единичную окруж­ность в точках М_х и М₂. Тангенс дуг АМ₁ и АМ₂ равен ординате а точки N—точки пересечения продолжения радиуса ОМ_г с осью тангенсов. Точке

соответствует дуга AM\= arctg я, а точке М₂—дуга AM₂ = 2Lrctga+n.

Каждая из этих дуг имеет тангенс, равный а. Множество дуг, оканчиваю­щихся в точках и М₂, записывается общей формулой

oc=arctga+Tcfc (fce= Z).

Из всех дуг (углов), имеющих данный тангенс а, главной считается дуга arctg а из промежутка — 7i/2<arctga<7i/2. #

38. Записать главные дуги, тангенс которых равен: 1) 0; 2) у/3;

-Уз/3; 4) 1; 5) -1.

О 1) а=arctg 0=0; 2) а=arctg >/3 = тс/3; 3) a = arctg(—^/3/3) = = — arctg (УЗ/З) = — п/6; 4) а=arctg 1 = тс/4; 5) а=arctg (— 1) = — arctg 1 = = — тс/4, ф

38. Построить главные дуги arctg (4/3) и arctg (—4/3).

О Построение выполнено на рис. 45: AM_l=SLTdg (4/3); АМ₂ = =arctg (- 4/3) = - arctg (4/3). ф

38. Записать множество дуг, тангенс которых равен Уз-

О На окружности имеются две точки, служащие концами дуг а_г и а₂,

тангенс которых равен у/3: а_х = arctg у/3=%/3

и а₂ = arctg у/3 4- л = п/3 4- п. Следовательно, искомое множество дуг выражается форму­лой

<х = п/3 + пк (fceZ). ф

38. Найти множество дуг а, котан­генс которых равен а.

О На оси котангенсов (рис. 46) постро­им точку N(a; 1). Через эту точку и начало координат проведем прямую, которая пере­сечет единичную окружность в точках М_г и М₂. Котангенс дуг АМ_Х и ЛМ₂ равен абсциссе а точки N—точки пересечения продолжения радиуса ОМ₁ с

осью котангенсов. Точке М_х соответствует дуга АМ_Х = arcctg я, а точке

М₂—дуга ^М₂ = arcctg а 4-я. Каждая из этих дуг имеет котангенс, равный а. Множество дуг, оканчивающихся в точках и М₂, записывается общей формулой

а=arcctg а 4- пк (fceZ).

Из всех дуг (углов), имеющих данный котангенс а, главной считается дуга arcctg а из промежутка 0 < arcctg а < п. ф