§7. Обратные тригонометрические функции

Функция >>=sinx на отрезке — я/2 ^х< я/2 имеет обратную функцию, которая называется арксинусом и обозначается >>=arcsin х:

—D (arcsin х)< 1, — п/2 < Е (arcsin х) ^ п/2;

sin (arcsin х) = jc, где — 1 ^ x < 1; arcsin(—x) = — arcsin x.

Функция j;=cosx на отрезке О^х^я имеет обратную функцию, которая называется арккосинусом и обозначается у = arccos х:

• 1</) (arccos х)^ 1, (arccos х)< я;

cos (arccos x) = x, где — 1 ^ x < 1 arccos (—x) = n—arccos x.

Функция y = tgx на промежутке —n/2<x<n/2 имеет обратную функцию, которая называется арктангенсом и обозначается >>=arctg х:

D (arctg х) = R, — п/2 <£ (arctg х)< п/2; tg(arctgх) = х, где xeR; arctg(—х)= —arctgх.

Функция >>=ctgx на промежутке 0<х<71 имеет обратную функцию, которая называется арккотангенсом и обозначается у=arcctg х:

D (arcctg х) = R, О <Е (arcctg x)<7i; ctg (arcctg х) = х, где xeR; arcctg (—x) = n—arcctg x.

38. Проверить, справедливы ли равенства: 1) arcsin (1/2) = я/6; 2) arccos( —_%/3/2) = 5я/6; 3) arctg ^/3=—я/3. О 1) arcsin(1/2) = я/6, так как sin^/6) = l/2 и —я/2<я/6<я/2; 2) arccos (—_ч/з/2) = 5я/6, так как сов(5я/6)= — ^/3/2 и 0<5я/6<я;

3. arctg₄/^/3= — я/3, так как tg(—я/3)= — ^/Зи — я/2< — я/3<я/2. •

38. Вычислить: 1) arcsin 0,7880; 2) arccos 0,9063; 3) arctg 2,145;

3. arcctg 0,9657.

О 1) Установим переключатель ГШР в положение «Р». Согласно алгоритму

2. 0,7880 arc | | sin |, находим arcsin 0,7880«0,9076;

   аналогично получим arccos 0,9063 «0,4363;

3. arctg 2,145» 1,1345;

4. tga= 1/0,9657 = 1,0355, a=arctg 1,0355=0,8028. #

38. Проверьте, справедливы ли равенства: 1) arcsin (^/2/2) = я/4;

arcsin(-l/2)= -я/6; 3) arccos (>/з/2) = я/6; 4) arccos (>/2/2) = Зя/4;

5. arctg 1 = я/4; 6) arctg ^3 = я/3; 7) arctg (-^3/3)=я/6;

7. arcctg у/b = — 2я/3.

38. Вычислите: 1) arcsin 0,4067; 2) arcsin 0,9962; 3) arccos 0,9848;

arccos 0,1736; 5) arctg 0,2679; 6) arctg 2,747; 7) arcctg 2,145;

8. arcctg 0,1944.

38. Вычислите: 1)arcsin( — >/3/2); 2) arccos(—1/2); 3)arctg ( — >/3/3);

arcctg (-1); 5) arcctg (—^/З); 6) arcsin (—0,9033); 7) arccos (—0,8965);

7. arctg(-1,4659); 9) arcctg(-1,3663); 10) arcctg(-0,3096).

38. Докажите справедливость неравенств: 1) arcsin (1/2) < < arccos (1/2); 2) arccos 0> arcsin 0; 3) arcsin (1/4) > arcsin (1/6);

arctg yfb> arcctg >/3.

38. Вычислите: 1) arcsin (^/2/2) + arccos (,/2/2); 2) arcsin (—1/2) + + arccos (— 1 /2); 3) arctg (— 1) + arcctg (— 1); 4) arcsin 1 + arccos 1 + + arctg 1 + arcctg 1; 5) arcsin (— 1) + arccos (— 1); 6) arcsin 0 + arccos 0;

arcsin 0 + arcsin 1 + arcsin (— 1); 8) arccos 0 + arccos 1 + arccos (— 1).

§ 8. Построение дуги (угла) по данному значению тригонометрической функции

38. Найти множество дуг а, синус которых равен а.

0. 1) На оси OY единичной окружности построим точку N(0; а) и проведем через нее прямую, параллельную оси ОХ. Рассмотрим два случая.

1. случай. Пусть |я|<1; тогда прямая у=а пересечет единичную окружность в точках М_г и М₂ (рис. 40), симметричных относительно оси

OY. Точке М₁ соответствует дуга arcsin я, а точке М₂—дуга

7i—arcsin а. Каждая из этих дуг имеет синус, равный а. Множество дуг, оканчивающихся в точке М₁ и имеющих синус, равный а, выражается формулой

а=arcsin а+2пк (к е Z),

а множество дуг, оканчивающихся в точке М₂ и имеющих синус, также равный а,—формулой

а=7t—arcsin а+2пк,

или

а = — arcsin а+7i (2к+1) (ке Z).

Так как (—1)"=1 при п — 2к (т. е. если п—четное) и (—1)"= —1 при п = 2к+\ (т. е. если п—нечетное), то эти две формулы можно объединить в одну:

а=(— 1)" arcsin а+пп(п е Z).

2. случай. Пусть а=± 1; тогда точка N(0;

а) совпадает с точкой В(0; 1), если а= 1, и с точкой Z>(0; —1), если а= — 1 (рис. 40). Множест­во дуг, оканчивающихся в точке i?(0; 1) (при я=1), выражается формулой

а=я/2+2кк (к е Z),

а множество дуг, оканчивающихся в точке D (0; — 1) (при а= — 1),—формулой

а= — n/2+2nk(keZ).

Из всех дуг (углов), синус которых равен а, где |я|< 1, главной считается дуга arcsin а из промежутка — я/2 < arcsin а < тс/2. ф