38. Вычислите значения остальных трех тригонометрических функций, если 1) sinа= — 5/13 и Зя/2<а<2я; 2) cosa=—8/17 и л/2<а<я; 3) tga = 8/15 и жа<Зя/2; 4) ctga=—7/24 и Зя/2<а<2я.₁

39. Упростите выражения:

1. sin² a 4- tg² a 4- cos² a; 2) sin⁴a—cos⁴a4-cos²a;

tga ctga sin a sin a ) 1 TZ2~Z 1 x 2 .. » / 1 •

1—tg²a 1—ctg a 14-cos a 1— cos a

5. tg² a cos² a 4-ctg² a sin² a; 6) cos⁴jc4-sin²xcos²x4-sin²x;

_₄ cos³ a—sin³ a _лч .

-—_: ; 8) sin a cos a (tga 4-ctg a).

14-sinacosa

38. Докажите тождества:

sin²* sin x4- cos x

1. 1— =—=sinx4-cosx;

sin x—cos x 1— tg^x

2. tg²a — sin² a = sin² a tg² a;

3. sin³ a (14- ctg a) 4- cos³ a (14- tg a) = sin a 4- cos a;

1-(sina4-cos a)² ₂ tga . ₂

4. — =2tg²a; 5) =sin²a;

sinacosa—ctga tga+ctga

6. 1 —sin⁶z—cos⁶z = 3sin²zcos²z;

7. cos² a (1 — tg a) (14- tg a) = cos⁴ a—sin⁴ a.

38. , ₄ 3iii л — j tua л

    y ⁼ '^JZrs_l^2 > ^если *g* = 3;

    Вычислите: sin²*—3cos²x

2 sin² x 4-cos² x’

3sin²x + 2cos²x—1

2. y=-r~2 : если tg jc = 1.

sin^z x—sin x cos x 4- 2

38. Упростите выражения:

1. (sin a4-cos a)² 4-(sin a—cos a)²; 2) sin² a 4-cos⁴ a—sin⁴ a;

3. sin⁴ a 4- sin² a cos² a 4- cos² a; 4) ctg² a—cos² a ctg² a—cos² a;

/14-cosa /1—cosa ^ ^ .

5. ; 6) (1 4- sm a) (tg a 4- ctg a) (1 — sin a);

У 1—cosa у 14-cos a

7. (1 + tg a)²+(1 — tg a)²; 8) tga- A⁺-*^ina.

1-sina

38. Докажите тождества:

1. (ctga4-l)² + (ctga— l)² = 2/sin²a;

2. cosa4-sinatga—l/cosa=0;

3. tg² a (1+ tg² a) (1 + ctg² a) - (1 - tg² a)²=4 tg² a;

4. cos a (sin a+cos a) (1 — tg a) =cos⁴ a—sin⁴ a;

-=ctg² a ctg² p;

6. 5)

   sin² a sin² p 4- sin² a cos² p 4- cos² а = 1.

38. Вычислите значения выражений, если tgz=2:

1. sin⁴ z 4-cos⁴ z; 2) sin⁶ z 4-cos⁶ z;

_ sin⁴ z—cos⁴ z _J4 sin³z—2cos³z+3cosz

* 4) .

sin⁶ z—cos⁶ z’ 3sinz+2cosz

38. Дано: tga + ctga = 3. Найдите: 1) tga—ctga; 2) tg²a—ctg²a; 3) tg² a 4-ctg² a; 4) tg³ a 4-ctg³ a.

ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА

tga l-h ctg a

1 —tg²a

= 1 и укажите допустимые +

1. вариант

1. Вычислите

(sin (я/4) + cos (Зтс/2)) • tg (п/3) ctg (n/6)- ctg (л/2)

2. Определите знак выражения

cos 100° tg 250° sin 300° ctg 100° ’

3. Вычислите значения осталь­ных тригонометрических функций угла а, если sin а =—3/5 и Зп/2< <а<2 п.

4. Вычислите значения осталь­ных тригонометрических функций угла а, если ctg а=>/3/3 и п< <а< Зтс/2.

tga

5. Докажите тождество -

ctg² а— 1

ctga значения для а.

2. вариант

1. Вычислите

2 tg (тс/4) (tg (71/3)+cos (7l/6)) cos тс—2 sin (Зтс/2)

2. Определите знак выражения

tg 150° sin 200° cos 320° ctg 140°

3. Вычислите значения осталь­ных тригонометрических функций угла а, если cos а =—4/5 и тс/ 2< <а<тс.

4. Вычислите значения осталь­ных тригонометрических функций угла а, если tga=-_v/3 и тс<а<Зтс/2.

5. Докажите тождество

ctga

= tg a+ctg a — 1 и укажите

14-tga

допустимые значения для a.

§ 6. Периодичность тригонометрических функций

Функция / называется периодической, если существует такое число ХфО, что при любом а из области определения функции числа а—А, и а 4-А, также принадлежат этой области и выполняется равенство

f (a-X)=f (а) =/(а 4- X).

В этом случае число X называется периодом функции /; ее перио­дами являются также числа вида пХ, пе Z, пФ 0. Наименьший положи­тельный период для синуса и косинуса равен 2тс, а для тангенса и котангенса он равен тс.

Свойство периодичности тригонометрических функций можно выразить тождествами:

sin a=sin (a4-2nk\ keZ; (9.26)

cos a=cos (a+Ink), keZ; (9.27)

tg a=tg (a+nk\ keZ\ (9.28)

ctg a=ctg (a + nk), keZ. (9.29)

38. Вычислить:

1. cos 3660°; 2) 2 cos 4,5я + sin (19я/3); 3) sin(-300°)-tg(-150°).

О На основании свойства периодичности косинуса и синуса получим:

1. cos 3660°=cos (360° 10+60°)=cos 60° = 1 /2;

2. 2 cos 4,5я+sin (19я/3) = 2 cos (2n • 2+0,5л)+sin (2n • 3 + n/3) = 2 cos 0,5л:+

+ sin (я/3)=0+Уз/2=Уз/2.

3. Прибавив по одному периоду к каждому из аргументов, получим

sin (- 300°) - tg (-150°) = sin (- 300° + 360°) - tg (-150° +180°) =

= sin60°-tg30°=_v/3/2-₄/3/3 = _v/3/6. •

38. Найти периоды функций: 1) j = sin3x; 2) y = cos(x/2).

О 1) Обозначив искомый период через X, получим

sin3(x+A,j=sin3x, или sin(3x+3X) = sin3x

Отсюда заключаем, что ЗХ=2я, т. е. Х = 2п/3.

2) Аналогично имеем

(х+АД х (х Х\ х

~Y~ )^=COS2’ ^{или C0s}l 2 ⁺ 2/^=COS2'

откуда Х/2 = 2я, т. е. Х=4л. ф

38. Найти периоды функций:

1. ^=sin2A:+cos3A:; 2) ^ = sin(3x/2) + sin(2x/3).

О 1) Найдем период каждого из слагаемых:

sin2(x+X₁) = sin2x, sin(2;t+2A,₁) = sin2x, 2^=271, ^ = 71; cos3(jc+A,₂)=cos3jc, cos(3x+3X₂)=cos3x, 3X₂ = 27i, X₂ = 2k/3.

Каждое число, кратное периоду, само является периодом, поэтому общее кратное чисел Х₁ и Х₂ является периодом функции у. Наименьшее общее кратное чисел к и 2к/3, равное наименьшему общему кратному числителей периодов Х_х и Х₂, есть 2п.

2. Имеем

. З(х+Х sin

j) . Зх . (Зх ЗХЛ . Зх

-=siny, sm(y+— ) ^{= sin}y’ ЗХ₁/2 = 2к, Х₁=4п/3;

. 2(х+Х₂) Sin ;

2х . (2х 2Х<\ 2х = sin—, sinl—Н——J = sin —; 2Х₂/3 = 2к, Х₂ = 3п.

Наименьшее общее кратное числителей периодов ^ и равно 12л; следовательно, период функции равен 12я. ф

38. Вычислите: 1) cos 7230°; 2) sin 900°; 3) tg585°; 4) ctg 750°;

sin 1843°.

38. Вычислите: 1) sin6,27i + cos4,l7i; 2) tg (1 Зтс/4)+ctg (21 тс/4);

sin (19я/3) —cos (19я/3); 4) sin (82rc-0,192)+cos(22rc +1,501);

4. sin 7,854-tg 3,927.

38. Найдите периоды функций: 1) ^=cos3jc; 2) y = cos(x/4);

y=tg2x; 4) >> = ctg(x/5).

38. Найдите периоды функций: 1) }>=sin5x —cos4x+l; 2) у= = 2sin(x/4) — 3 sin (х/3); 3^ >> = tg(2x/3) —4ctg(3x/2) —2; 4) y= = sin (3x/4) — 3 cos (5 x/ 8)+cos 5x.

39. Вычислите: 1) 2 sin 750° — 3cos900° + tg405°; 2) tg²600° + + ctg² 585° + 3; 3) sin (-330°) +sin (-690°); 4) tg(-135°)-tg225°;

_C4 /04 • / н \ £.\ sin(— 1 lTt/2)+tg( —5я)

cos (—Зя) — sin (— 7я); 6) ——— , ■ .

cos (—5я)+ctg (—21я/4)

38. Упростите выражения:

1. sin² (6я — a) + sin² (1 Оя + a); 2) sin² ^—4я^+cos² ^8я—^ + 2;

3. cos(a—6я) + соз(12я + а); 4) 8т²(2я-Ьа)+со8²(6я —a)+l.

38. Докажите тождества:

cos ² (4я — a) ₄ cos (6n+a) tg (Зя — a)

• tg² (9л+a) +1^{_ C}°^{S ]} sin (4jc—a) ctg (5д+a)^—

~ Ctg(137t-.x) + tg(4rc+x)_ tg (5я+x) - ctg (7я + x)

3. sin (6я—x) cos (8я — x) tg (9я — x) ctg (1 Оя—x) = — sin x cos x.