38. Определите знаки выражений:

1. sm(ln/6)-cos(3n/5); 2) зт²(4я/3) 8т(5я/4); 3) вт(2я/3)х хсо8(2я/3)*со8(я/4); 4) sin2,3 cos(—1,7) sin(—1,5).

38. Какой четверти принадлежит дуга а, если: 1) sin а = cos а;

2. sin а=cos² а; 3) sin а=cos³ а; 4) sin а=cos⁴ а; 5) cos а = sin² а;

6. cosa = sin³a; 7) tga = ctga; 8) tga=ctg²a?

38. Определите знаки выражений, если 0<а<я/2:

1. cos (я/2—а) • tg (2я — а) • ctg (я/2 + а);

2. sin (Зя/2 4-а) cos (я 4-а)‘tg (я 4-а);

3. cos² (я+а) • tg² (я/2 4- а) *ctg³ (я—а).

38. Вычислите:

1. sin я+ctg (— я/2)+cos (— Зя/2) 4- tg я;

2. cos (—я) 4" sin (—я) 4~ tg (—я/4)+ctg (— я/4);

3. а ² cos 0 4-2я& cos я 4-й ² sin (я/2);

4. sin (я/6) • cos (я/3) • tg (я/4) • ctg (я/6);

5. 5 tg² (я/4) — 8 sin² (я/6) 4- 4 cos² (я/3).

38. Упростите:

(a cos О)²—(b ctg (я/4))²

2. а ² cos (я/3) + 2ab cos я 4- b ² tg (тг/4) ’

2)

3)

4)

(a sin (я/2))⁴—(b tg (я/4))⁴ ,

((a cos 2я)²—(b sin (—я/2))² ’

3. (—a sin (—Зя/2))³ 4- (я& tg 2я)³ 4- (b cos О)³; a cos 0—ab sin 0 4- Ъ tg (я/4) асо$2п—Ь&т2к

38. Проверьте равенства:

1. sin я 4- 3 cos (Зя/2) — tg² (я/3) 4- ctg² (я/6) = 0;

2. 2 sin² (я/4) 4- 4 sin² (я/3) 4- cos² (я/4) — sin (я/6) = 4;

3. sin³ (я/4) 4- cos³ (я/4) — sin (я/4) = 0;

4. 2 sin (—я/6) + 3 cos(— я/2) — 3 ctg (—я/4) 4- 4 tg 0 = 2.

§ 5. Основные тригонометрические тождества

Если две функции от одних и тех же аргументов имеют одну и ту же область определения и принимают равные значения при всех допустимых значениях аргументов, то они называются тождественно равными.

Равенство, справедливое при всех допустимых значениях аргументов, называется тождеством.

Если в состав тождества входят тригонометрические функции, то тождество называется тригонометрическим.

Переход от данной функции к тождественно равной ей называется тождественным преобразованием функции.

При доказательстве тригонометрических тождеств обычно применяет следующие приемы: 1) производят преобразования над любой частью равенства (обычно над той, которая представляет более сложное выражение), так чтобы в результате тождественных преобразований над ней получилось выражение, стоящее в другой части равенства; 2) преобразуют одновременно обе части доказываемого тождества, пока не станет очевидным, что в обеих частях получились тождественно равные выражения; 3) используя свойство пропорции о равенстве произведений крайних и средних членов, убеждаются в равенстве этих произведений.

Основные тригонометрические тождества

sin²a+cos²a=l; (9.22)

tgactga= 1, а^яА:/2, keZ; (9.23)

+ tg² а = 1 /cos² а, а # я/2 4- nk, к е Z; (9.24)

14- ctg² а = 1 /sin² а, а ф пк, к е Z. (9.25)

Используя основные тригонометрические тождества, можно выразить через данную тригонометрическую функцию остальные функции. Эти выражения приведены в табл. V.

Таблица V

Данная

ctga

tga

функция

±у/ 1 — sin² a

sin a

±y/\ — sin² a

sin a

sin a

i^/l-sin² a

sin a

±^/1— cos² a cos a

±<j\ — cos² a

cos a

cos a

cos a

±у/^С

1

tga

tga

tga

tga

±>/lH-tg²a

±_x/l-htg²a

1

ctga

ctga

ctga

ctga

±yi+ctg²a

±yjl+ ctg² a

38. Дано: sin a = 3/5, n/2<ai<n. Вычислить: 1) cos a; 2) tga; 3) ctga.

О 1) cosa= — .^/l — (3/5)² = —4/5 (перед радикалом стоит минус, так как во II четверти cosa<0); 2) tg a = (3/5): (—4/5) = — 3/4; 3) ctga=—4/3. #

38. Дано: cosa= —12/13, жа<Зя/2. Вычислить: 1) sin а; 2) tga;

ctga.

О 1) sina= —V¹ —(—12/13)²= — 5/13; 2) tga=(—5/13):(—12/13)= 5/12;

3. ctg a =12/5. ф

38. Дано: tga =—3/4; п/2<а<п. Вычислить: 1) ctga; 2) cos a; 3) sin a.

1

О 1) ctg a =—4/3; 2) по формуле (9.24) получим cos² a=

1+tg a

cosa= —

===== —7; 3) sina= /l373"=: ’—3/4) 5 yj \ 5/ i

v/bK

38. Дано: ctga = 8/15, 0<а<я/2. Вычислить: 1) tga; 2) sina; 3) cos a.

О 1) tga=15/8; 2) по формуле (9.25) получим sin²a=-—^—5—; sina=

1. +ctg^xa

38. Упростить выражения:

1. 7-°^Sa—I-tga; 2) sin⁴a+cos⁴a+2sin²acos²a.

1. +sma

cos a

1+sina 1+sina cosa (l + sina)cosa

1+sina 1

О 1) ——:—+tga

= seca^a#^+Tcfc, ke Z^; 2) sin⁴ a+cos⁴ a + 2 sin² ax

(l + sina)cosa cosa xcos²a=(sin²a+cos²a)² = l² = 1. +

-г sin a 1+cosa 2

Доказать тождества: 1) 1 _: = -—; 2) l+sina+

1+cos a sin a sin a

w* ч «4 sin a 14-cos a

/ 14-1+2 cos a 2 \ ( 2(1+cos a) 2 \ ( 2 2 \

<=>[ _:—= lol = I <=>( = |, a фкк,

\(1+cosa)sina sinaу \(1+cosa)sina sin ay ysina sina у

keZ.

2. Преобразуем левую часть:

sin a

(sina\

1 + =

cos ay

Преобразуем правую часть:

(l+cosa)(l +tga) = (l +cos a)

sin a+cos a (sin a+cos a) (1 + cos a) n , , ^

= (1 +cosa) =- — а^-+тс/г, keZ.

cos a cos a 2

Поскольку левая и правая части равны, искомое тождество доказано.

3. На основании свойства пропорции получим

(sin² a=(1 — cos a) (1 + cos a))o(sin² a = 1 — cos² a)o(sin² a=sin² a),

аФпк, keZ. #

38. Найти значение функции:

sin³ x+cos³ x

1. У=— з 9 если tg д: = 2;

sur х—cos^J X

sin² x+sin x cos x+2

2. у — -—; = если tgдг = 3.

2. sinxcosx+cos²*—4

одной и той же степени от sin* и cosx, то их можно разделить на cos²*;

О 1) Так как числитель и знаменатель—однородные многочлены ой и той же тогда получим

tg³ jc +1 2³ + 1 9 ^ ⁼ tg³jc—1 ⁼ 2³ — 1 ⁼ 7

2. Умножив 2 в числителе и 4 в знаменателе на тригонометрическую единицу (sin² *4-cos²jc) и разделив затем числитель и знаменатель на cos² х, получим

sin² х+sin х cos х 4- 2 (sin² х 4- cos² х)

^ 3 sin л: cos д: 4-cos² х—4 (sin² л; 4-cos² л:)

3. sin² х4- sin х cos л;+2 cos² л; 3 tg² x 4- tg x+2

3. sin x cos x 4-4 sin² x—3 cos² x 3tgx—4tg²x—3 _ 3-3²4-34-2 _ 16 “3-3—4-3² —3~”l5‘ *