§ 2. Единичная числовая окружность

Окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 1, называется единичной окружностью. Уравнение единичной окружности имеет вид х²+у²= 1 (рис. 37).

Точку А(\; 0) единичной окружности примем за начало отсчета дуг, а положительную полуось ОХ—за началь­ную сторону центрального угла, образуе­

мого радиусом-вектором ОМ с осью ОХ (точка М лежит на единичной окружности).

Вращение радиуса-вектора ОМ от

положительной полуоси ОХ против движе­ния часовой стрелки назовем положитель­ным, а дугу AM и центральный угол

L АОМ—положительными; при противо­положном вращении (по часовой стрел- р_ис ^ ке)—отрицательными.

Дуги I четверти заключены в промежутке 0<а<я/2, II четверти—в промежутке к/2«х<к, III четверти — в промежутке ж а < Зтг/2 и IV четверти — в промежутке Зя/2<а<2я.

Существует бесконечное множество дуг, имеющих данное начало А и данный конец М (данные, начальную и конечную стороны угла). Множество этих дуг (углов), как положительных, так и отрицательных, выражается формулой

ot = 2rcfc + a₁, или a=360°fc+ot₁, (9.11)

где (0^а<360°) и keZ.

Если каждому действительному числу а на единичной окружности соответствует точка М_а—конец дуги AM, для которой дуга AM имеет величину а, то такая единичная окружность называется числовой единичной окружностью.

Длина всей числовой единичной окружности равна 2к. Если два числа отличаются друг от друга на целое кратное 2л, то на числовой единичной окружности им соответствует одна и та же точка. Если два числа соответствуют одной и той же точке числовой единичной окружности, то их разность кратна 2к.

27. Указать на единичной окружности: 1) точку М дуги АМ= 17тг; 2) точку М дуги AM—1950°; 3) точку М дуги АМ= = -1380°.

О О По формуле (9.11) получим \1п= 16я + я = 2я • 8 +я, fc=8. Конец дуги AM оканчивается в точке М (— 1; 0).

1. Находим АМ= 1950° = 360° *5+150°, к = 5. Конец дуги AM оканчи­вается во II четверти.

2. Имеем AM = — 1380° = 360° (—4) +60°, к=— 4. Конец дуги AM окан­чивается в I четверти. Здесь дуга а! представлена наименьшим по абсо­лютной величине числом (ai=60°). Чтобы ai было наименьшим по абсолютной величине числом, его надо брать в промежутке 0<а!<180° или -180°<а!^0. •

28. Записать в общем виде концы дуг единичной окружности:

абсциссы которых равны нулю; 2) ординаты которых равны нулю.

О 1) Концы дуг п/2 и Зя/2 (—п/2) имеют абсциссы, равные нулю; следо­вательно, множество концов дуг с абсциссой, равной нулю, записывается в виде п/2 + пк, кеЪ.

1. Концы дуг 0 (2л) и п имеют ординаты, равные нулю; следовательно, множество концов дуг с ординатой, равной нулю, записывается в виде пк, кеZ. •

29. Укажите, в какой четверти единичной окружности оканчи­ваются дуги: 1) 120°; 2) 315°; 3) -220°; 4) 850°; 5) 500°; 6) -120°;

я/4; 8) 7я/6; 9) -5я/3; 10) 4я/15; И) 8я/3; 12) -5я/4; 13) 0,76; 14) 5,8; 15) -7,2; 16) -3,7; 17) 15; 18) 3,3.

30. Представьте угол а по формуле (9.11), взяв наименьший по абсолютной величине угол а_ь если: 1) а = 2200°; 2) а=—550°;

а= —740°; 4) а=1170°; 5) а=-1450°; 6) а = 520°.

31. Запишите в общем виде дуги, оканчивающиеся в точках:

1. А (1; 0); 2) В (0; 1); 3) С(-1; 0); 4) D (0; -1).

32. Единичная окружность разделена на 12 равных частей, начиная от точки А (1; 0). Запишите множества концов дуг, окан­чивающихся в точках деления.

33. Найдите значения дуг: 1) кк; 2) я/4 + 2пк; 3) п/3 + 2пк;

(— \)^кп/6+пк при к=— 2; — 1; 0; 1; 2.

34. На единичной окружности отметьте дуги а, удовлетворя­ющие условиям: 1) 0<а<я/4; 2) я/4<а<я/3; 3) — я/6<а<тс/6;

— 2я/3<а<0; 5) |а|^я/3; 6) |а|<я/2.

35. На единичной окружности: 1) постройте точки, соответст­вующие числам я/6; я/4; я/3; 2я/3; — 2я/3; —Зя/4;

2. постройте приближенно точки, соответствующие числам 1,5; 3,5; 5; 6; -2; -4.

36. Точка единичной окружности, лежащая в конце дуги я/6, начала равномерное движение по окружности в положительном направлении со скоростью ю=4я/3 рад/с. В какой четверти ока­жется точка через: 1) 2 с; 2) 3 с; 3) 4 с; 4) 10 с?

37. Напишите общий вид дуг а, если: 1) 2а = я/4+2я£;

2. За—я/6 = 5я/6+2пк; 3) 4а+я/3 = 2я/3 + яА:; 4) 10° + а=50°+ 180°fe.