Глава 9 тригонометрические функции

§ 1. Радианное измерение дуг и углов

1. Основные формулы, связанные с радианным измерением дуг. При радиан- ном измерении дуг (и соответствующих им центральных углов) за единицу из­мерения принимается радиан—дуга, длина которой равна радиусу этой дуги. Радианная мера дуги вычисляется по формуле

Градусная мера 1 рад равна 57°17'44",8«57°,3.

Длина дуги окружности равна радианной мере дуги, умноженной на ра­диус этой дуги:

Площадь кругового сектора равна половине радианной меры дуги сектора, умноженной на квадрат радиуса круга:

S"IT=“R²12- (9.5)

2. Основные понятия, связанные с вращательным движением точки. При

вращательном движении твердого тела вокруг неподвижной оси различают две скорости: линейную и угловую.

Скорость любой точки твердого тела во вращательном движении называется линейной скоростью.

Линейная скорость v точки при равномерном движении по окружности радиуса R вычисляется по формуле

v=2nR/T, (9.6)

где Г—период вращения, т. е. время (в секундах), за которое совершается один ; полный оборот точки.

Угол, на который поворачивается радиус любой точки равномерно вращающегося твердого тела за одну секунду, называется угловой скоростью. Угловая скорость выражается в радианах в секунду (рад/с).

Зависимость между угловой скоростью со и периодом вращения Т выражается формулой

(о=2п/Т. (9.7)

Линейная скорость v точки, находящейся на расстоянии R от оси вращения, и ее угловая скорость связаны соотношением

v = (oR. (9.8)

При неравномерном вращении твердого тела его угловой скоростью со называется скорость изменения угла ф за время t. Угловая скорость (рад/с) в этом случае есть производная угла поворота ф по времени t:

dtp

ш=—.. (9.9)

dt

Угловое ускорение 8 (рад/с²) есть производная от угловой скорости со по времени t:

d со

8=—. (9.10)

dt

1. Чему равна точная радианная мера дуг: 1) 240°; 2) 300°?

О По формуле (9.2) получим:

1. а=(п/\ 80°) • 240°=4я/3; 2) а=(л:/180°) • 300° = 5тс/3. •

2. Чему равна точная градусная мера дуг: 1) 7я/6; 2) 5я/4?

О По формуле (9.3) получим:

1. а=(180°/я) • (7я/б) = 210°; 2) а=(180°/я)-(5я/4) = 225°. •

3. Колесо, радиус которого равен 0,65 м, повернулось на угол

4 рад. Найти длину пути, пройденного точкой обода колеса.

О По формуле (9.4) находим /= 1,4 0,65 = 0,91 (м). #

4. Дуга кругового сектора составляет 0,94 рад. Вычислить площадь сектора, если радиус круга равен 0,65 м.

О По формуле (9.5) находим 5_Сект=0,5 • 0,94 0,65² « 0,20 (м²). ф

5. Точка колеса, находящаяся от его центра на расстоянии 0,56 м, равномерно вращается с линейной скоростью 4,6 м/с. Найти период вращения колеса.

О Из формулы (9.6) находим Т и подставляем в найденное для Т выражение числовые значения R и v:

Т= 2nR/v=2п • 0,56/4,6 » 0,76 (с). •

6. Линейная скорость на ободе равномерно вращающегося маховика, радиус которого 0,64 м, равна 256 м/с. Найти угловую скорость маховика.

О Из формулы (9.8) находим угловую скорость ю и подставляем в полученное выражение числовые значения v и R:

&=v/R = 256/0,64=400 (рад/с), ф

7. При торможении маховик за t с поворачивается на угол Ф = 3 + 8t—t². Найти: 1) угловую скорость вращения маховика при /=3 с; 2) угловое ускорение в момент /; 3) момент, когда вращение прекратится.

О 1) Угловая скорость есть производная угла поворота ср по времени t, d<p

т е* ^^а**^дем У^ГЛ<>^ВУ^Ю скорость в момент / = 3 с: со(3) = 8 —

-2-3 = 2 (рад/с).

2. Угловое ускорение е есть производная от угловой скорости со по

diо

времени /, т. е. £=—= — 2 (рад/с²). dt

%

3. Полагая со=0, найдем t: 8—2/=0, /=4 с. ф

8. Чему равна точная радианная мера дуг (устно): 1) 30°; 2) 45°;

2. 60°; 4) 90°; 5) 120°; 6) 135°; 7) 150°; 8) 180°; 9) 210°; 10) 225°; И) 270°; 12) 330°?

9. На микрокалькуляторе с помощью алгоритма | А° | 1 F 1

Г -»Р 1 переведите градусы в радианы: 1) 15°,3; 2) 71°17; 3) 15°28;

2. 115°,73; 5) 215°,2; 6) 312°,32; 7) 57°42; 8) 87°,5; 9) Г; 10) 0°,1.

10. Найдите радианную меру дуг: 1) 14°5; 2) 27°,3; 3) 75°;

130°; 5) 38°,7; 6) 86°.

11. Найдите градусную меру дуг: 1) 5я/36; 2) 7я/12; 3) Ия/18;

5я/9; 5) Ия/20; 6) 13я/30; 7) Ия/6; 8) 4я/3.

12. На микрокалькуляторе с помощью алгоритма | А° | 1 F 1

Р-»Г 1 переведите радианы в градусы: 1) 0,3008; 2) 0,5728;

2. 1,0472; 4) 1,3454; 5) 1,4850; 6) 1,7453.

13. Вычислите радиус окружности, если ее дуга длиной 0,84 м содержит 1,5 рад.

14. Вычислите периметр сектора, дуга которого содержит 0,85 рад, а радиус окружности равен 0,38 м.

15. Радиус круга равен 0,56 м, а площадь кругового сектора составляет 0,72 м². Найдите дугу сектора в радианах.

16. Круговой сектор, имеющий площадь 0,39 м², стягивается дугой в 1,4 рад. Найдите радиус круга.

17. Точка на ободе равномерно вращающегося маховика имеет линейную скорость 1,6 м/с. Период вращения маховика равен я/4 с. Найдите радиус маховика.

18. Точка, находящаяся на расстоянии 0,12 м от оси вращения равномерно вращающейся шестеренки, имеет линейную скорость 0,48 м/с. Найдите период вращения шестеренки.

19. Колесо, радиус которого 0,125 м, равномерно вращается с угловой скоростью 24 рад/с. Вычислите линейную скорость в точке, лежащей на ободе колеса.

20. Тело вращается вокруг оси по закону ф = Юг—Г². Найдите:

угловую скорость вращения в момент t=2 с; 2) угловое уско­рение в момент t; 3) момент, когда вращение прекратится.

21. Углы треугольника относятся, как 1:3:5. Вычислите их величины в радианной мере.

22. Четыре точки делят окружность в отношении 3:4:5:6. Вычислите в радианной мере величины соответствующих дуг.

23. Радиусом Л=0,12 м описана дуга, радианная мера кото­рой равна 2,5. Найдите длину этой дуги.

24. Вычислите в радианной мере величину вписанного угла, опирающегося на дугу, радианная мера которой равна 4я/15.

25. Величина дуги в радианной мере равна 5я/9. Под каким углом из точек этой дуги видна стягивающая ее хорда?

26. Вычислите (рад/с) угловую скорость часовой, минутной и секундной стрелок.